Bài 11 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \({V_k}\) là phép vị tự tỉ số \(k\) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(a’\), lấy \(M,N \in a\) và \({V_k}\left( M \right) = M';{V_k}\left( N \right) = N';M',N' \in a'\).

Ta có : \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN}  \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {M'N'} \) do đó hai đường thẳng \(a\) và \(a’\) song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử phép vị tự \({V_k}\) biến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thành mp \(\left( {\alpha '} \right)\). Lấy trên \(\left( \alpha  \right)\) hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) thì ảnh của chúng qua \({V_k}\) là hai đường thẳng \(a’\) và \(b’\) nằm trên \(\left( {\alpha '} \right)\) và lần lượt song song hoặc trùng với \(a\) và \(b\). Từ đó suy ra hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) song song hoặc trùng nhau.