Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số:  \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

\(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)

\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)

\(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\)

\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
3a + 2b = 0 \hfill \cr 
a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr 
b = 3 \hfill \cr} \right.\)

Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được:

\(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 3{x^2};\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6x;\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) =  - 12x + 6\)

\(f''\left( 0 \right) = 6 > 0\) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\); \(f\left( 0 \right) = 0;f''\left( 1 \right) =  - 6 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1;f\left( 1 \right) = 1\)

Vậy \(a =  - 2;b = 3;c = d = 0\).