Bài 1.47 trang 24 SBT giải tích 12

Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)

Phương pháp giải:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \left( {2x - 1} \right) \) \(= 2.\left( { - 2} \right) - 1 =  - 5 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 0\\x + 2 > 0,\forall x >  - 2\end{array} \right.\)

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2 - \dfrac{1}{x}}}{{1 + \dfrac{2}{x}}} = 2\)  nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

LG b

\(y = \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}}\);

Lời giải chi tiết:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^ + }} \left( {3 - 2x} \right)\) \( = 3 - 2.\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{8}{3} > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 0\\3x + 1 > 0,\forall x >  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} =  + \infty ;\)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} =  - \infty \), ta có \(x =  - \dfrac{1}{3}\) là tiệm cận đứng

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{x} - 2}}{{3 + \dfrac{1}{x}}} =  - \dfrac{2}{3}\)  nên đường thẳng \(y =  - \dfrac{2}{3}\) là tiệm cận ngang.

LG c

\(y = \dfrac{5}{{2 - 3x}}\);

Lời giải chi tiết:

Vì \(5 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^ + }} \left( {2 - 3x} \right) = 0\\2 - 3x < 0,\forall x > \frac{2}{3}\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{5}{{2 - 3x}} =  - \infty ;\)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{5}{{2 - 3x}} =  + \infty \) nên \(x = \dfrac{2}{3}\) là tiệm cận đứng,

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{5}{{2 - 3x}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.

LG d

\(y = \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \( - 4 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 0\\x + 1 > 0,\forall x >  - 1\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} =  - \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} =  + \infty \) nên \(x\; =  - 1\) là tiệm cận đứng.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.