Bài 1.47 trang 24 SBT giải tích 12

Giải bài 1.47 trang 24 sách bài tập giải tích 12. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:...


Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)

Phương pháp giải:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \left( {2x - 1} \right) \) \(= 2.\left( { - 2} \right) - 1 =  - 5 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 0\\x + 2 > 0,\forall x >  - 2\end{array} \right.\)

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2 - \dfrac{1}{x}}}{{1 + \dfrac{2}{x}}} = 2\)  nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.


LG b

\(y = \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}}\);

Lời giải chi tiết:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^ + }} \left( {3 - 2x} \right)\) \( = 3 - 2.\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{8}{3} > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 0\\3x + 1 > 0,\forall x >  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} =  + \infty ;\)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} =  - \infty \), ta có \(x =  - \dfrac{1}{3}\) là tiệm cận đứng

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{x} - 2}}{{3 + \dfrac{1}{x}}} =  - \dfrac{2}{3}\)  nên đường thẳng \(y =  - \dfrac{2}{3}\) là tiệm cận ngang.


LG c

\(y = \dfrac{5}{{2 - 3x}}\);

Lời giải chi tiết:

Vì \(5 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^ + }} \left( {2 - 3x} \right) = 0\\2 - 3x < 0,\forall x > \frac{2}{3}\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{5}{{2 - 3x}} =  - \infty ;\)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{5}{{2 - 3x}} =  + \infty \) nên \(x = \dfrac{2}{3}\) là tiệm cận đứng,

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{5}{{2 - 3x}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.


LG d

\(y = \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \( - 4 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 0\\x + 1 > 0,\forall x >  - 1\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} =  - \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} =  + \infty \) nên \(x\; =  - 1\) là tiệm cận đứng.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.



Từ khóa phổ biến