Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

a) Hệ tọa độ

Trong không gian, cho ba trục xOx', yOy', zOz' vuông góc với nhau từng đôi một.

Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx', yOy', zOz' với: 

\(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)

Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.

b) Tọa độ của vectơ trong không gian 

Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: 

\(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\)\(\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)

Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).

c) Tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)

Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.

- Cho hai vectơ 

\(\vec{u}=(x;y;z)\) và \(\vec{u'}=(x';y'; z')\):

+ \(\vec{u}+\vec{u'}=(x+x';y+y';z+ z')\)

+ \(\vec{u}-\vec{u'}=(x-x';y-y';z- z')\)

+ \(k\vec{u}=(kx;ky;kz)\)

+ \(\vec{u}=u'\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y'\\ z=z' \end{matrix}\right.\)

+ \(\vec{u}=\vec{u'}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=kx'\\ y=ky'\\ z=kz' \end{matrix}\right.\)

+ \(\left | \vec{u} \right |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

- Cho hai điểm

\(A(x_A,y_A,z_A)\); \(B(x_B,y_B,z_B)\):

+ \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)

+ \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)

+ \(\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}(k\neq 1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A-k.x_B}{1-k}\\ \\ y_I=\frac{y_A-k.y_B}{1-k}\\ \\ z_I=\frac{z_A-k.z_B}{1-k} \end{matrix}\right.\)

+ Đặc biệt I là trung điểm AB thì: 

\(\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ \\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ \\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2} \end{matrix}\right.\) 

+ G là trọng tâm \(\Delta ABC\):

\(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{matrix}\right.\)

+ G là trọng tâm của tứ diện ABCD: 

\(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} \end{matrix}\right.\)

- Công thức tính tích vô hướng: 

\(\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a},\vec{b})\).

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: 

\(\begin{array}{l}
\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})}\\
{\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})}
\end{array}} \right\}\\
 \Rightarrow \vec a.\vec b = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}
\end{array}\)

- Công thức tính góc giữa hai vectơ: 

\(cos(\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\)

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\)

Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng 

\(x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\)

Với điều kiện \(A^2+B^2+C^2-D> 0\).

Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)

Cho ba vectơ 

\(\vec a=(1;m;2),\vec b=(m+1;2;1),\)

\(\vec c=(0;m-2;2).\)

a) Tìm m để \(\vec a\) vuông góc \(\vec b.\)

b) Tìm m để \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right|.\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \)

\(\Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {m + 2;m + 2;3} \right)\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {(m + 2)^2} + 9 = {(m - 2)^2} + 4\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 6 \pm \sqrt 3 . \end{array}\)

Ví dụ 2:

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow a = (1; - 1;0),\,\overrightarrow b = ( - 1;1;2),\)

\(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j ,\,\overrightarrow d = \overrightarrow i\).

a) Xác định t để vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;2t - 1;0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a .\)  

b) Tìm các số thực m, n, p để \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c\).   

Lời giải:

a) \(\vec u\) cùng phương với \(\vec a\) khi:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k\\ 0 = 0k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right. \end{array}\)

- Với \(t=\frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = 0 \end{array} \right.\) (VN)

- Với \(t \ne \frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ k = \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow t = -\frac{{ 1}}{2}\)

b) Ta có: 

\(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j =(1; - 2;0)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec d = m\vec a - n\vec b + p\vec c}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; - 1;0) - n( - 1;1;2)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + p(1; - 2;0)
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m + n + p = 1}\\
{ - m - n - 2p = 0}\\
{0m - 2n + 0p = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 2}\\
{n = 0}\\
{p =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy \(m=2;n=0;p=-1\).

Ví dụ 3:

Cho \(A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4)\). Tìm:

a) Trọng tâm tam giác ABC.

b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.

c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{13}}{3}\\ {y_G} = \frac{8}{3}\\ {z_G} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\) 

b) Gọi \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\)  

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 2;2; - 1)\\ \overrightarrow {DC} = (9 - {x_D};6 - {y_D};4 - {z_D}) \end{array}\)

Để ABCD là hình bình hành thì:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)

Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = 9 - {x_D}\\ 2 = 6 - {y_D}\\ - 1 = 4 - {z_D} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 11\\ {y_D} = 4\\ {z_D} = 5 \end{array} \right. \)

\(\Rightarrow D(11;4;5)\)   

c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:

I là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\\ {y_I} = \frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I(6,3,4)\).  

Ví dụ 4:

Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh \(A(0;0;0);\,B\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);C(a;0;0);\)

\(S(0;0;a)\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; - a} \right).\)

\(\cos \left( {AB,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \)

\(\Rightarrow \widehat {\left( {AB,SC} \right)} \approx {69^0}18'.\)

Ví dụ 5:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:

\(A(0;0;0);\,B(a;0;0);\,C(0;a\sqrt 3 ,0);\)

\(A'\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);B'\left( {\frac{{3a}}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);\)

\(C'\left( {\frac{a}{2};\frac{{3a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\)

Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh: \(A'M \bot BC.\)   

b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’.

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {A'M} = \left( {0;0; - a\sqrt 3 } \right)\)  

\(\overrightarrow {BC} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0.\)  

Vậy AM vuông góc BC.

b) Ta có:

 \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {B'C'} = \left( {a; - a\sqrt 3 ;0} \right) \end{array}\)  

\(\cos (AA',B'C') = \frac{{\left| {\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'C'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|}} = \frac{1}{4}\)

Vậy: \(\widehat {\left( {AA',B'C'} \right)} \approx {75^0}31'.\)   

Ví dụ 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AB ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = - 1\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1;1)\)

Ta có: \(IA = IB = 1.\)

Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:

\({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)

Ví dụ 7:

Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).

Lời giải:

Gọi phương trình mặt cầu là:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d{\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} 0\\
{\mkern 1mu} \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)
\end{array}\)

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

\(\left\{ \begin{array}{l} -2a - 2b + d + 2 = 0\\ -6a - 2b - 4c + d + 14 = 0\\ 2a - 2b - 4c + d + 6 = 0\\ -2a + 2b - 4c + d + 6 = 0 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow a = b = 1;\,c = 2;d = 2\)                                            

Vậy phương trình mặt cầu là:

\(x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.\) 

a) Hệ tọa độ

Trong không gian, cho ba trục xOx', yOy', zOz' vuông góc với nhau từng đôi một.

Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx', yOy', zOz' với: 

\(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)

Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.

b) Tọa độ của vectơ trong không gian 

Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: 

\(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\)\(\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)

Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).

c) Tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)

Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.

- Cho hai vectơ 

\(\vec{u}=(x;y;z)\) và \(\vec{u'}=(x';y'; z')\):

+ \(\vec{u}+\vec{u'}=(x+x';y+y';z+ z')\)

+ \(\vec{u}-\vec{u'}=(x-x';y-y';z- z')\)

+ \(k\vec{u}=(kx;ky;kz)\)

+ \(\vec{u}=u'\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y'\\ z=z' \end{matrix}\right.\)

+ \(\vec{u}=\vec{u'}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=kx'\\ y=ky'\\ z=kz' \end{matrix}\right.\)

+ \(\left | \vec{u} \right |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

- Cho hai điểm

\(A(x_A,y_A,z_A)\); \(B(x_B,y_B,z_B)\):

+ \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)

+ \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)

+ \(\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}(k\neq 1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A-k.x_B}{1-k}\\ \\ y_I=\frac{y_A-k.y_B}{1-k}\\ \\ z_I=\frac{z_A-k.z_B}{1-k} \end{matrix}\right.\)

+ Đặc biệt I là trung điểm AB thì: 

\(\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ \\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ \\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2} \end{matrix}\right.\) 

+ G là trọng tâm \(\Delta ABC\):

\(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{matrix}\right.\)

+ G là trọng tâm của tứ diện ABCD: 

\(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} \end{matrix}\right.\)

- Công thức tính tích vô hướng: 

\(\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a},\vec{b})\).

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: 

\(\begin{array}{l}
\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})}\\
{\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})}
\end{array}} \right\}\\
 \Rightarrow \vec a.\vec b = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}
\end{array}\)

- Công thức tính góc giữa hai vectơ: 

\(cos(\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\)

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\)

Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng 

\(x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\)

Với điều kiện \(A^2+B^2+C^2-D> 0\).

Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)

Cho ba vectơ 

\(\vec a=(1;m;2),\vec b=(m+1;2;1),\)

\(\vec c=(0;m-2;2).\)

a) Tìm m để \(\vec a\) vuông góc \(\vec b.\)

b) Tìm m để \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right|.\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \)

\(\Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {m + 2;m + 2;3} \right)\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {(m + 2)^2} + 9 = {(m - 2)^2} + 4\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 6 \pm \sqrt 3 . \end{array}\)

Ví dụ 2:

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow a = (1; - 1;0),\,\overrightarrow b = ( - 1;1;2),\)

\(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j ,\,\overrightarrow d = \overrightarrow i\).

a) Xác định t để vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;2t - 1;0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a .\)  

b) Tìm các số thực m, n, p để \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c\).   

Lời giải:

a) \(\vec u\) cùng phương với \(\vec a\) khi:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k\\ 0 = 0k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right. \end{array}\)

- Với \(t=\frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = 0 \end{array} \right.\) (VN)

- Với \(t \ne \frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ k = \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow t = -\frac{{ 1}}{2}\)

b) Ta có: 

\(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j =(1; - 2;0)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec d = m\vec a - n\vec b + p\vec c}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; - 1;0) - n( - 1;1;2)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + p(1; - 2;0)
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m + n + p = 1}\\
{ - m - n - 2p = 0}\\
{0m - 2n + 0p = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 2}\\
{n = 0}\\
{p =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy \(m=2;n=0;p=-1\).

Ví dụ 3:

Cho \(A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4)\). Tìm:

a) Trọng tâm tam giác ABC.

b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.

c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{13}}{3}\\ {y_G} = \frac{8}{3}\\ {z_G} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\) 

b) Gọi \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\)  

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 2;2; - 1)\\ \overrightarrow {DC} = (9 - {x_D};6 - {y_D};4 - {z_D}) \end{array}\)

Để ABCD là hình bình hành thì:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)

Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = 9 - {x_D}\\ 2 = 6 - {y_D}\\ - 1 = 4 - {z_D} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 11\\ {y_D} = 4\\ {z_D} = 5 \end{array} \right. \)

\(\Rightarrow D(11;4;5)\)   

c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:

I là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\\ {y_I} = \frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I(6,3,4)\).  

Ví dụ 4:

Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh \(A(0;0;0);\,B\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);C(a;0;0);\)

\(S(0;0;a)\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; - a} \right).\)

\(\cos \left( {AB,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \)

\(\Rightarrow \widehat {\left( {AB,SC} \right)} \approx {69^0}18'.\)

Ví dụ 5:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:

\(A(0;0;0);\,B(a;0;0);\,C(0;a\sqrt 3 ,0);\)

\(A'\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);B'\left( {\frac{{3a}}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);\)

\(C'\left( {\frac{a}{2};\frac{{3a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\)

Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh: \(A'M \bot BC.\)   

b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’.

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {A'M} = \left( {0;0; - a\sqrt 3 } \right)\)  

\(\overrightarrow {BC} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0.\)  

Vậy AM vuông góc BC.

b) Ta có:

 \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {B'C'} = \left( {a; - a\sqrt 3 ;0} \right) \end{array}\)  

\(\cos (AA',B'C') = \frac{{\left| {\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'C'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|}} = \frac{1}{4}\)

Vậy: \(\widehat {\left( {AA',B'C'} \right)} \approx {75^0}31'.\)   

Ví dụ 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AB ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = - 1\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1;1)\)

Ta có: \(IA = IB = 1.\)

Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:

\({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)

Ví dụ 7:

Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).

Lời giải:

Gọi phương trình mặt cầu là:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d{\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} 0\\
{\mkern 1mu} \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)
\end{array}\)

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

\(\left\{ \begin{array}{l} -2a - 2b + d + 2 = 0\\ -6a - 2b - 4c + d + 14 = 0\\ 2a - 2b - 4c + d + 6 = 0\\ -2a + 2b - 4c + d + 6 = 0 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow a = b = 1;\,c = 2;d = 2\)                                            

Vậy phương trình mặt cầu là:

\(x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.\)