1. Sơ đồ chung các bài toán tích phân và ứng dụng
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\).
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)} \,dx \)
\(= {x^3} - \frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.\)
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)
Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
J = \int {\left( {5{t^2} - t + 2} \right)} dt\\
= \frac{{5{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C
\end{array}\\
{ = \frac{5}{3}{{\sin }^3}x - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.}
\end{array}\)
Tính các tích phân sau:
a) \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)
b) \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(\begin{array}{l}
{I_2} = \int_1^2 l nxd({x^2}) = ({x^2}lnx)|_1^2 - \int_1^2 x dx\\
= 4ln2 - \frac{{{x^2}}}{2}|_1^2 = 4ln2 - \frac{3}{2}.
\end{array}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)
b) Ta tách tích phân I như sau:
\(\begin{array}{l}
I = \int_1^2 {\frac{{{x^2} + l{n^2}x}}{x}} dx\\
= \int_1^2 x dx + \int_1^2 {\frac{{l{n^2}x}}{x}} dx
\end{array}\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\({I_2} = \int_0^{ln2} {{t^2}} dt = \frac{{{t^3}}}{3}|_0^{ln2} = \frac{{l{n^3}2}}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \)
\(\Rightarrow dx = - \sin tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
I = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} - 1} \right)dt} }
\end{array}\\
{ = \left. {\left( {\tan t - t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}.}
\end{array}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
\(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
Thể tích cần tìm:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\)
Đặt \(\sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \)
\(\Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\)
\(\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} \\
= \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt}
\end{array}\\
{ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right).}
\end{array}\)
1. Sơ đồ chung các bài toán tích phân và ứng dụng
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\).
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)} \,dx \)
\(= {x^3} - \frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.\)
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)
Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
J = \int {\left( {5{t^2} - t + 2} \right)} dt\\
= \frac{{5{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C
\end{array}\\
{ = \frac{5}{3}{{\sin }^3}x - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.}
\end{array}\)
Tính các tích phân sau:
a) \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)
b) \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(\begin{array}{l}
{I_2} = \int_1^2 l nxd({x^2}) = ({x^2}lnx)|_1^2 - \int_1^2 x dx\\
= 4ln2 - \frac{{{x^2}}}{2}|_1^2 = 4ln2 - \frac{3}{2}.
\end{array}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)
b) Ta tách tích phân I như sau:
\(\begin{array}{l}
I = \int_1^2 {\frac{{{x^2} + l{n^2}x}}{x}} dx\\
= \int_1^2 x dx + \int_1^2 {\frac{{l{n^2}x}}{x}} dx
\end{array}\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\({I_2} = \int_0^{ln2} {{t^2}} dt = \frac{{{t^3}}}{3}|_0^{ln2} = \frac{{l{n^3}2}}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \)
\(\Rightarrow dx = - \sin tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
I = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} - 1} \right)dt} }
\end{array}\\
{ = \left. {\left( {\tan t - t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}.}
\end{array}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
\(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
Thể tích cần tìm:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\)
Đặt \(\sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \)
\(\Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\)
\(\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} \\
= \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt}
\end{array}\\
{ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right).}
\end{array}\)