Ôn tập chương 3 Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng
Video bài giảng
1. Sơ đồ chung các bài toán tích phân và ứng dụng
2. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số
3. Các dạng nguyên hàm từng phần và cách chọn u, dv
.png)
4. Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép đổi biến số lượng giác hóa
.png)
5. Bài tập Ôn tập
Bài tập 1:
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\).
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).
Lời giải:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)} \,dx \)
\(= {x^3} - \frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.\)
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)
Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
J = \int {\left( {5{t^2} - t + 2} \right)} dt\\
= \frac{{5{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C
\end{array}\\
{ = \frac{5}{3}{{\sin }^3}x - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.}
\end{array}\)
Bài tập 2:
Tính các tích phân sau:
a) \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)
b) \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Lời giải:
a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(\begin{array}{l}
{I_2} = \int_1^2 l nxd({x^2}) = ({x^2}lnx)|_1^2 - \int_1^2 x dx\\
= 4ln2 - \frac{{{x^2}}}{2}|_1^2 = 4ln2 - \frac{3}{2}.
\end{array}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)
b) Ta tách tích phân I như sau:
\(\begin{array}{l}
I = \int_1^2 {\frac{{{x^2} + l{n^2}x}}{x}} dx\\
= \int_1^2 x dx + \int_1^2 {\frac{{l{n^2}x}}{x}} dx
\end{array}\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\({I_2} = \int_0^{ln2} {{t^2}} dt = \frac{{{t^3}}}{3}|_0^{ln2} = \frac{{l{n^3}2}}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \)
\(\Rightarrow dx = - \sin tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
I = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} - 1} \right)dt} }
\end{array}\\
{ = \left. {\left( {\tan t - t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}.}
\end{array}\)
Bài tập 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
Lời giải:
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).
Bài tập 4:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
\(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
Lời giải:
Thể tích cần tìm:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\)
Đặt \(\sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \)
\(\Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\)
\(\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} \\
= \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt}
\end{array}\\
{ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right).}
\end{array}\)
1. Sơ đồ chung các bài toán tích phân và ứng dụng
2. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số
3. Các dạng nguyên hàm từng phần và cách chọn u, dv
4. Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép đổi biến số lượng giác hóa
5. Bài tập Ôn tập
Bài tập 1:
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\).
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).
Lời giải:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)} \,dx \)
\(= {x^3} - \frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.\)
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)
Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
J = \int {\left( {5{t^2} - t + 2} \right)} dt\\
= \frac{{5{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C
\end{array}\\
{ = \frac{5}{3}{{\sin }^3}x - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.}
\end{array}\)
Bài tập 2:
Tính các tích phân sau:
a) \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)
b) \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Lời giải:
a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(\begin{array}{l}
{I_2} = \int_1^2 l nxd({x^2}) = ({x^2}lnx)|_1^2 - \int_1^2 x dx\\
= 4ln2 - \frac{{{x^2}}}{2}|_1^2 = 4ln2 - \frac{3}{2}.
\end{array}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)
b) Ta tách tích phân I như sau:
\(\begin{array}{l}
I = \int_1^2 {\frac{{{x^2} + l{n^2}x}}{x}} dx\\
= \int_1^2 x dx + \int_1^2 {\frac{{l{n^2}x}}{x}} dx
\end{array}\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\({I_2} = \int_0^{ln2} {{t^2}} dt = \frac{{{t^3}}}{3}|_0^{ln2} = \frac{{l{n^3}2}}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \)
\(\Rightarrow dx = - \sin tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
I = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} - 1} \right)dt} }
\end{array}\\
{ = \left. {\left( {\tan t - t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}.}
\end{array}\)
Bài tập 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
Lời giải:
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).
Bài tập 4:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
\(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
Lời giải:
Thể tích cần tìm:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\)
Đặt \(\sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \)
\(\Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\)
\(\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} \\
= \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt}
\end{array}\\
{ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right).}
\end{array}\)