Bài 2: Tích phân
Video bài giảng
1. Định nghĩa
Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\)
2. Tính chất của tích phân
Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.
- \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)
3. Một số phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\)
Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)
- Các phương pháp đổi biến số thường gặp:
+ Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).
+ Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).
b) Phương pháp tích phân từng phần
Định lí:
Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì
\(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} \)
\(= \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)
4. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)
Lời giải:
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} \)
\(= \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)
\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx } \)
\(=\left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
Ví dụ 2:
Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)
b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)
c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}\)
Lời giải:
a) Đặt:
\(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t - 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)
b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} - 1} \right)t.tdt} \)
\(= \left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)
c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \)
\(\Rightarrow dx = 2\cos tdt\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)
Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} }\)
\(\begin{array}{l}
= \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}} } \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{\pi }{6}}\\
0
\end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}
\end{array}\)
Ví dụ 3:
Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} - 1)\ln xdx}\)
Lời giải:
a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)
\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).
b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} - 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} - 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l}
I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} - 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx\\
= \frac{{2\ln 2}}{3} - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} - x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}
\end{array}\)
1. Định nghĩa
Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\)
2. Tính chất của tích phân
Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.
- \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)
3. Một số phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\)
Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)
- Các phương pháp đổi biến số thường gặp:
+ Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).
+ Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).
b) Phương pháp tích phân từng phần
Định lí:
Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì
\(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} \)
\(= \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)
4. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)
Lời giải:
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} \)
\(= \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)
\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx } \)
\(=\left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
Ví dụ 2:
Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)
b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)
c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}\)
Lời giải:
a) Đặt:
\(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t - 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)
b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} - 1} \right)t.tdt} \)
\(= \left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)
c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \)
\(\Rightarrow dx = 2\cos tdt\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)
Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} }\)
\(\begin{array}{l}
= \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}} } \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{\pi }{6}}\\
0
\end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}
\end{array}\)
Ví dụ 3:
Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} - 1)\ln xdx}\)
Lời giải:
a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)
\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).
b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} - 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} - 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l}
I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} - 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx\\
= \frac{{2\ln 2}}{3} - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} - x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}
\end{array}\)