Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Video bài giảng
1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
- Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)
.png)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}\)
.png)
2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(a,b\) là \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}.\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là \(x \in \left[ {a;\,b} \right]\) và S(x) là một hàm liên tục.
.png)
3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .\)
.png)
- Cho hai hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) thỏa \(0\leq g(x)\leq f(x)\), liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
- Cho hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) quay quanh trục hoành hoành tạo nên một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta thực hiện các bước:
+ Giải phương trình:
\(f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x = b \end{array} \right.\)
(Thường dạng bài này đề bài cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt).
+ Giải sử \(0\leq g(x)\leq f(x)\) với mọi x thuộc \([a,b].\) Khi đó:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
- Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y = c,\,y = d\) quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_c^d {{g^2}(y)dy}.\)
4. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2.\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành:
Diện tích hình phẳng cần tính:
\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} } \\
= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} \\
= \left. { - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}
\end{array}\)
Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
\(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:
\(\begin{array}{l}
\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{{e^x} = e}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số
\(\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} - e} \right) > 0.\)
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx\\
= \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - e} \right)} dx}
\end{array}\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = x}\\
{dv = \left( {e - {e^x}} \right)dx}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{du = dx}\\
{v = ex - {e^x}}
\end{array}} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow S = \left. {x\left( {ex - {e^x}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}} \right)dx} \\
= \left( { - \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right. = \frac{{e - 2}}{2}.
\end{array}\)
Ví dụ 3:
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}}.\)
Lời giải:
Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là
\(x;2\sqrt {9 - {x^2}}\) là \(2x\sqrt {9 - {x^2}}\)
Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức
\(V = \int\limits_0^3 {2x\sqrt {9 - {x^2}} dx}\)
Đặt \(t = \sqrt {9 - {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 9 - {x^2} \)
\(\Leftrightarrow xdx = - tdt\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 0} \end{array}} \right.\)
Suy ra \(V = - 2\int\limits_3^0 {{t^2}dt} = \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = 18.\)
Ví dụ 4:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và \(y = x\) quay quanh trục Ox.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và đường thẳng \(y=x\) là
\({2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right.}\)
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là
\(\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} \\
= \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right|dx}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right|\\
= \pi \left| {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right.} \right| = \frac{\pi }{5}.
\end{array}\)
1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
- Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}\)
2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(a,b\) là \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}.\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là \(x \in \left[ {a;\,b} \right]\) và S(x) là một hàm liên tục.
3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .\)
- Cho hai hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) thỏa \(0\leq g(x)\leq f(x)\), liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
- Cho hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) quay quanh trục hoành hoành tạo nên một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta thực hiện các bước:
+ Giải phương trình:
\(f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x = b \end{array} \right.\)
(Thường dạng bài này đề bài cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt).
+ Giải sử \(0\leq g(x)\leq f(x)\) với mọi x thuộc \([a,b].\) Khi đó:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
- Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y = c,\,y = d\) quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_c^d {{g^2}(y)dy}.\)
4. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2.\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành:
Diện tích hình phẳng cần tính:
\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} } \\
= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} \\
= \left. { - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}
\end{array}\)
Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
\(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:
\(\begin{array}{l}
\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{{e^x} = e}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số
\(\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} - e} \right) > 0.\)
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx\\
= \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - e} \right)} dx}
\end{array}\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = x}\\
{dv = \left( {e - {e^x}} \right)dx}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{du = dx}\\
{v = ex - {e^x}}
\end{array}} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow S = \left. {x\left( {ex - {e^x}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}} \right)dx} \\
= \left( { - \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right. = \frac{{e - 2}}{2}.
\end{array}\)
Ví dụ 3:
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}}.\)
Lời giải:
Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là
\(x;2\sqrt {9 - {x^2}}\) là \(2x\sqrt {9 - {x^2}}\)
Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức
\(V = \int\limits_0^3 {2x\sqrt {9 - {x^2}} dx}\)
Đặt \(t = \sqrt {9 - {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 9 - {x^2} \)
\(\Leftrightarrow xdx = - tdt\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 0} \end{array}} \right.\)
Suy ra \(V = - 2\int\limits_3^0 {{t^2}dt} = \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = 18.\)
Ví dụ 4:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và \(y = x\) quay quanh trục Ox.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và đường thẳng \(y=x\) là
\({2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right.}\)
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là
\(\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} \\
= \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right|dx}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right|\\
= \pi \left| {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right.} \right| = \frac{\pi }{5}.
\end{array}\)