Ôn tập chương 4 Giới hạn

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1:

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ \, hay \, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to 0{\rm{ \, khi\, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)

Định nghĩa 2:

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là a hay (u_n) dần tới a khi n dần tới vô cực (\(n \to  + \infty \)), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0.\)

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = a{\rm{ \, hay\, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to a{\rm{ \, khi \, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)

Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right)\).

2. Một vài giới hạn đặc biệt

\(\lim \frac{1}{n} = 0{\rm{ }},{\rm{ lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{k}}}}} = 0{\rm{ , n}} \in \mathbb{Z}_ + ^*\)

\(\lim \left( {{q^n}} \right) = 0{\rm{  }}\) với \(\left| q \right| < 1\).

\(\lim {u_n} = c\)\( \Rightarrow \lim {u_n} = \lim c = c\).

(c là hằng số) 

Một số định lý về giới hạn của dãy số:

Định lý 1: Cho dãy số (u_n), (v_n) và (w_n) có : \({{\rm{v}}_{\rm{n}}} \le {u_n} \le {w_n}{\rm{ }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\lim \left( {{v_n}} \right) = \lim \left( {{w_n}} \right) = a{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{lim}}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right) = a\).

Định lý 2: Nếu \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) thì:

• \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right) \pm \lim \left( {{v_n}} \right) \)

\(= a \pm b\)

• \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = a.b\)
• \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim \left( {{u_n}} \right)}}{{\lim \left( {{v_n}} \right)}} = \frac{a}{b},\)

\(\left( {{v_n} \ne 0,\forall n \in {N^*};b \ne 0} \right)\)

• \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt {\lim \left( {{u_n}} \right)}  = \sqrt a ,\)

\(\left( {{u_n} \ge 0,{\rm{a}} \ge {\rm{0}}} \right)\)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q, với \(\left| q \right| < 1.\)

\(\lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

3. Dãy số dần tới vô cực

Ta nói dãy số (u_n) dần tới vô cực \(\left( {{u_n} \to  + \infty } \right)\) khi n dần tới vô cực \(\left( {n \to  + \infty } \right)\) nếu u_n lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \( \lim {u_n}=+ \infty \) hay u_n \( \to  + \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là \( - \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu lim\(\left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \).

Ký hiệu: \(\lim {u_n}= - \infty \) hay u_n \( \to  - \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

4. Định lý

- Nếu \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \ne 0{\rm{ ,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = \infty \)

- Nếu \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \infty {\rm{ }}\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\)

II. Phương pháp giải toán

1. Giới hạn của dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}}\) với P,Q là các đa thức:

Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a₀, hệ số cao nhất của Q là b₀ thì chia tử số và mẫu số cho n_k để đi đến kết quả: \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \frac{{{a_0}}}{{{b_0}}}\).

Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho n_k để đi đến kết quả: \(\lim {u_n}=0\).

Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả: \(\lim {u_n}=\infty \).

2. Giới hạn của dãy số dạng: \({u_n} = \frac{{f\left( n \right)}}{{g\left( n \right)}}\), f và g là các biển thức chứa căn.

Chia tử và mẫu cho n_k với k chọn thích hợp.

Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn \( \in \) K và xn \( \ne \)a ,\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) mà lim(xn) = a đều có lim[f(xn­)] = L.

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1: Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý 2: Nếu các giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L{\rm{ }},{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = M\) thì:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L \pm M\)

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right].\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L.M\)

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right]}} = \frac{L}{M}{\rm{ , M}} \ne {\rm{0}}\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}  = \sqrt L \)

\(f\left( x \right) \ge 0,L \ge 0\)

Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) \( \le \) f(x) \( \le \) h(x) \(\forall x \in K,x \ne a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {h\left( x \right)} \right] = L \)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a, đều có lim[f(xn)] = \(\infty \) thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \infty \).

Nếu với mọi dãy số (x_n), lim(x_n) = \(\infty \) đều có lim[f(xn)] = L, thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\). Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\)

II. Phương pháp giải toán

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {\frac{{\rm{0}}}{{\rm{0}}}} \right)\)

Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số, mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)².

Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)

Chia tử và mẫu cho x_k với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu \(x \to  + \infty \) thì coi như x>0, nếu \(x \to  - \infty \) thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.

Giới hạn của hàm số dạng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]{\rm{   }}\left( {{\rm{0}}{\rm{.}}\infty } \right)\).

Ta biến đổi về dạng: \(\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)

Giới hạn của hàm số dạng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {\sqrt {f\left( x \right)}  - \sqrt {g\left( x \right)} } \right]{\rm{    }}\left( {\infty {\rm{ - }}\infty } \right)\)

Đưa về dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)} }}\)

 

I. Kiến thức cần nhớ

1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x₀ \( \in \) (a;b) nếu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\). Điểm x₀ tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.

f(x) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm x₀ \( \in \) (a;b)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\).

f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.

f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( a \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( b \right)\end{array} \right.\)

2. Một số định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x₀ thì: \(f\left( x \right) \pm g\left( x \right){\rm{ , }}f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{ , }}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {g\left( x \right) \ne 0} \right)\) cũng liên tục tại x₀.

Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.

Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c \( \in \) (a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

II. Phương pháp giải toán

1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{                }}\left( {{\rm{x}} \ne {{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\{\rm{a                       }}\left( {{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\end{array} \right.{\rm{               }}\)

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right]\).Hàm số liên tục tại x₀ \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right] = a\).

Xét tính liên tục của hàm số dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{          }}\left( {{\rm{x < }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\a{\rm{                }}\left( {{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\h\left( x \right){\rm{          }}\left( {{\rm{x > }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\end{array} \right.\)

Tìm \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\f\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\).

Hàm số liên tục tại x = x₀

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] \)

\(= f\left( {{x_0}} \right) = a\).

2. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b)

Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].

Chứng tỏ \(f(a).f(b) < 0\)

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x) = 0 có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm.

Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn:

a) \(\lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n}.\)

b) \(\lim \cos \frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n} = \sin 0 = 0.\)

b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0 \)

\(\Rightarrow {\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = c{\rm{os}}0 = 1.\)

Ví dụ 2:

Tính các giới hạn:

a) \({\rm{lim }}\frac{1}{n}\sin (2n + 1).\)

b) \(\lim \frac{5}{{2n + 3}}\cos ({n^2} + 2n - 1).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\sin (2n + 1) \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{1}{n}\sin (2n + 1)} \right| \)

\(\le \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow \lim \frac{1}{n}\sin (2n + 1) = 0.\)

b) \(\left| {\cos ({n^2} + 2n - 1) \le 1} \right|\)

\( \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{5}{{2n + 3}}\cos ({n^2} + 2n - 1)} \right| \le \frac{5}{{2n + 3}} \to 0\)

\( \Rightarrow \lim \frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) = 0.\)

Ví dụ 3:

Tính các giới hạn:

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}}.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{5 + \frac{2}{n} + \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} \)

\(= \lim \frac{0}{5} = 0.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{n}}}{{\frac{{3n + 2}}{n}}} \)

\(= \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{3 + \frac{2}{n}}} = \frac{2}{3}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n \)

\(= \lim \frac{{(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n)(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n)}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n}}\)

\( = \lim \frac{{3n + 3}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n}} = \frac{3}{4}\)

Ví dụ 4:

Tính các giới hạn:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{x - 1}}{\rm{ }}{\rm{.}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x)\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{x + 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} (x - 2) =  - 3\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {3x + 1}  - 2)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{3}{{(\sqrt {3x + 1}  + 2)}} = \frac{3}{4}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + 1} \right)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1}} = \frac{2}{3}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x) \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x)(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 3}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{(\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  + 1)}} = 1.\)

Ví dụ 5:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}{\rm{             }}\left( {{\rm{x}} \ne {\rm{1}}} \right)\\{\rm{a                      }}\left( {{\rm{x = 1}}} \right)\end{array} \right.\) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x₀ = 1.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(1) = a.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\)

Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x₀ = 1.

Nếu a \( \ne \) 2 thì hàm số gián đoạn tại x₀ = 1.

Ví dụ 6:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{      }}\left( {{\rm{x}} > {\rm{0}}} \right)\\{\rm{x             }}\left( {{\rm{x}} \le {\rm{0}}} \right)\end{array} \right.\). Xét tính liên tục của hàm số tại x₀ = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(0) = 0

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0}\\
\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right)\\
 = 1 \ne 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x
\end{array}
\end{array}\)

Vậy hàm số không liên tục tại x₀ = 0.

Ví dụ 7:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}ax + 2{\rm{             }}\left( {{\rm{x}} \ge {\rm{1}}} \right)\\{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x - 1            }}\left( {{\rm{x}} < {\rm{1}}} \right)\end{array} \right.\)

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.

Hướng dẫn giải:

x > 1 ta có f(x) = ax + 2 hàm số liên tục.

x < 1 ta có f(x) = x² + x - 1 hàm số liên tục.

Khi x = 1:

Ta có f(1) = a + 2

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + 2} \right) = a + 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x - 1} \right) = 1\end{array}\).

Hàm số liên tục tại x₀ = 1 nếu a = - 1.

Hàm số gián đoạn tại x₀ = 1 nếu a \( \ne \) - 1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = - 1. Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nếu  a \( \ne \) - 1.

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1:

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ \, hay \, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to 0{\rm{ \, khi\, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)

Định nghĩa 2:

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là a hay (u_n) dần tới a khi n dần tới vô cực (\(n \to  + \infty \)), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0.\)

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = a{\rm{ \, hay\, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to a{\rm{ \, khi \, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)

Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right)\).

2. Một vài giới hạn đặc biệt

\(\lim \frac{1}{n} = 0{\rm{ }},{\rm{ lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{k}}}}} = 0{\rm{ , n}} \in \mathbb{Z}_ + ^*\)

\(\lim \left( {{q^n}} \right) = 0{\rm{  }}\) với \(\left| q \right| < 1\).

\(\lim {u_n} = c\)\( \Rightarrow \lim {u_n} = \lim c = c\).

(c là hằng số) 

Một số định lý về giới hạn của dãy số:

Định lý 1: Cho dãy số (u_n), (v_n) và (w_n) có : \({{\rm{v}}_{\rm{n}}} \le {u_n} \le {w_n}{\rm{ }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\lim \left( {{v_n}} \right) = \lim \left( {{w_n}} \right) = a{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{lim}}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right) = a\).

Định lý 2: Nếu \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) thì:

• \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right) \pm \lim \left( {{v_n}} \right) \)

\(= a \pm b\)

• \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = a.b\)
• \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim \left( {{u_n}} \right)}}{{\lim \left( {{v_n}} \right)}} = \frac{a}{b},\)

\(\left( {{v_n} \ne 0,\forall n \in {N^*};b \ne 0} \right)\)

• \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt {\lim \left( {{u_n}} \right)}  = \sqrt a ,\)

\(\left( {{u_n} \ge 0,{\rm{a}} \ge {\rm{0}}} \right)\)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q, với \(\left| q \right| < 1.\)

\(\lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

3. Dãy số dần tới vô cực

Ta nói dãy số (u_n) dần tới vô cực \(\left( {{u_n} \to  + \infty } \right)\) khi n dần tới vô cực \(\left( {n \to  + \infty } \right)\) nếu u_n lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \( \lim {u_n}=+ \infty \) hay u_n \( \to  + \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là \( - \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu lim\(\left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \).

Ký hiệu: \(\lim {u_n}= - \infty \) hay u_n \( \to  - \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

4. Định lý

- Nếu \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \ne 0{\rm{ ,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = \infty \)

- Nếu \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \infty {\rm{ }}\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\)

II. Phương pháp giải toán

1. Giới hạn của dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}}\) với P,Q là các đa thức:

Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a₀, hệ số cao nhất của Q là b₀ thì chia tử số và mẫu số cho n_k để đi đến kết quả: \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \frac{{{a_0}}}{{{b_0}}}\).

Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho n_k để đi đến kết quả: \(\lim {u_n}=0\).

Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả: \(\lim {u_n}=\infty \).

2. Giới hạn của dãy số dạng: \({u_n} = \frac{{f\left( n \right)}}{{g\left( n \right)}}\), f và g là các biển thức chứa căn.

Chia tử và mẫu cho n_k với k chọn thích hợp.

Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn \( \in \) K và xn \( \ne \)a ,\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) mà lim(xn) = a đều có lim[f(xn­)] = L.

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1: Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý 2: Nếu các giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L{\rm{ }},{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = M\) thì:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L \pm M\)

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right].\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L.M\)

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right]}} = \frac{L}{M}{\rm{ , M}} \ne {\rm{0}}\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}  = \sqrt L \)

\(f\left( x \right) \ge 0,L \ge 0\)

Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) \( \le \) f(x) \( \le \) h(x) \(\forall x \in K,x \ne a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {h\left( x \right)} \right] = L \)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a, đều có lim[f(xn)] = \(\infty \) thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \infty \).

Nếu với mọi dãy số (x_n), lim(x_n) = \(\infty \) đều có lim[f(xn)] = L, thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\). Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\)

II. Phương pháp giải toán

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {\frac{{\rm{0}}}{{\rm{0}}}} \right)\)

Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số, mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)².

Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)

Chia tử và mẫu cho x_k với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu \(x \to  + \infty \) thì coi như x>0, nếu \(x \to  - \infty \) thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.

Giới hạn của hàm số dạng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]{\rm{   }}\left( {{\rm{0}}{\rm{.}}\infty } \right)\).

Ta biến đổi về dạng: \(\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)

Giới hạn của hàm số dạng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {\sqrt {f\left( x \right)}  - \sqrt {g\left( x \right)} } \right]{\rm{    }}\left( {\infty {\rm{ - }}\infty } \right)\)

Đưa về dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)} }}\)

 

I. Kiến thức cần nhớ

1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x₀ \( \in \) (a;b) nếu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\). Điểm x₀ tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.

f(x) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm x₀ \( \in \) (a;b)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\).

f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.

f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( a \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( b \right)\end{array} \right.\)

2. Một số định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x₀ thì: \(f\left( x \right) \pm g\left( x \right){\rm{ , }}f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{ , }}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {g\left( x \right) \ne 0} \right)\) cũng liên tục tại x₀.

Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.

Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c \( \in \) (a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

II. Phương pháp giải toán

1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{                }}\left( {{\rm{x}} \ne {{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\{\rm{a                       }}\left( {{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\end{array} \right.{\rm{               }}\)

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right]\).Hàm số liên tục tại x₀ \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right] = a\).

Xét tính liên tục của hàm số dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{          }}\left( {{\rm{x < }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\a{\rm{                }}\left( {{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\h\left( x \right){\rm{          }}\left( {{\rm{x > }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\end{array} \right.\)

Tìm \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\f\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\).

Hàm số liên tục tại x = x₀

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] \)

\(= f\left( {{x_0}} \right) = a\).

2. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b)

Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].

Chứng tỏ \(f(a).f(b) < 0\)

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x) = 0 có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm.

Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn:

a) \(\lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n}.\)

b) \(\lim \cos \frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n} = \sin 0 = 0.\)

b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0 \)

\(\Rightarrow {\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = c{\rm{os}}0 = 1.\)

Ví dụ 2:

Tính các giới hạn:

a) \({\rm{lim }}\frac{1}{n}\sin (2n + 1).\)

b) \(\lim \frac{5}{{2n + 3}}\cos ({n^2} + 2n - 1).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\sin (2n + 1) \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{1}{n}\sin (2n + 1)} \right| \)

\(\le \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow \lim \frac{1}{n}\sin (2n + 1) = 0.\)

b) \(\left| {\cos ({n^2} + 2n - 1) \le 1} \right|\)

\( \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{5}{{2n + 3}}\cos ({n^2} + 2n - 1)} \right| \le \frac{5}{{2n + 3}} \to 0\)

\( \Rightarrow \lim \frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) = 0.\)

Ví dụ 3:

Tính các giới hạn:

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}}.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{5 + \frac{2}{n} + \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} \)

\(= \lim \frac{0}{5} = 0.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{n}}}{{\frac{{3n + 2}}{n}}} \)

\(= \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{3 + \frac{2}{n}}} = \frac{2}{3}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n \)

\(= \lim \frac{{(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n)(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n)}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n}}\)

\( = \lim \frac{{3n + 3}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n}} = \frac{3}{4}\)

Ví dụ 4:

Tính các giới hạn:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{x - 1}}{\rm{ }}{\rm{.}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x)\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{x + 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} (x - 2) =  - 3\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {3x + 1}  - 2)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{3}{{(\sqrt {3x + 1}  + 2)}} = \frac{3}{4}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + 1} \right)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1}} = \frac{2}{3}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x) \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x)(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 3}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{(\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  + 1)}} = 1.\)

Ví dụ 5:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}{\rm{             }}\left( {{\rm{x}} \ne {\rm{1}}} \right)\\{\rm{a                      }}\left( {{\rm{x = 1}}} \right)\end{array} \right.\) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x₀ = 1.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(1) = a.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\)

Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x₀ = 1.

Nếu a \( \ne \) 2 thì hàm số gián đoạn tại x₀ = 1.

Ví dụ 6:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{      }}\left( {{\rm{x}} > {\rm{0}}} \right)\\{\rm{x             }}\left( {{\rm{x}} \le {\rm{0}}} \right)\end{array} \right.\). Xét tính liên tục của hàm số tại x₀ = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(0) = 0

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0}\\
\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right)\\
 = 1 \ne 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x
\end{array}
\end{array}\)

Vậy hàm số không liên tục tại x₀ = 0.

Ví dụ 7:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}ax + 2{\rm{             }}\left( {{\rm{x}} \ge {\rm{1}}} \right)\\{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x - 1            }}\left( {{\rm{x}} < {\rm{1}}} \right)\end{array} \right.\)

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.

Hướng dẫn giải:

x > 1 ta có f(x) = ax + 2 hàm số liên tục.

x < 1 ta có f(x) = x² + x - 1 hàm số liên tục.

Khi x = 1:

Ta có f(1) = a + 2

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + 2} \right) = a + 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x - 1} \right) = 1\end{array}\).

Hàm số liên tục tại x₀ = 1 nếu a = - 1.

Hàm số gián đoạn tại x₀ = 1 nếu a \( \ne \) - 1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = - 1. Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nếu  a \( \ne \) - 1.