Bài 1: Giới hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Định nghĩa
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = 0\)
Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi
\(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\)
sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), tức là:
Với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).
Dãy số \(({u_n})\) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
b) Một số giới hạn đặc biệt
\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)
\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)
\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } c = c\)
Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\).
2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:
\(\begin{array}{l}
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\\
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\\
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\\
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}(b \ne 0)
\end{array}\)
\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0\,,{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \)
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\). Khi đó tổng
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ....\) gọi là tổng vô hạn của CSN và
\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
4. Giới hạn vô cực
a) Định nghĩa
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \) với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \).
b) Một số kết quả đặc biệt
\( \bullet\, \)\(\lim {n^k} = + \infty \) với mọi \(k > 0\)
\( \bullet\, \) \(\lim {q^n} = + \infty \) với mọi \(q > 1\).
c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:
|
\(\lim {u_n}\) |
\(\lim {v_n}\) |
\(\lim ({u_n}{v_n})\) |
|
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
|
\(\lim {u_n}\) |
Dấu của \(l\) |
\(\lim ({u_n}{v_n})\) |
|
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) |
\( + \) \( - \) \( + \) \( - \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
|
Dấu của \(l\) |
Dấu của \({v_n}\) |
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) |
|
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) |
\( + \) \( - \) \( + \) \( - \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
5. Bài tập về Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} - \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Ví dụ 1:
a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)
Hướng dẫn:
a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).
b) \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} \)
\(= \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)
Ví dụ 2:
a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}.\)
Hướng dẫn:
a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}.\)
b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).
Ví dụ 3:
Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right).\)
Hướng dẫn:
Ta có \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right) \)
\(= \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} \)
\(= \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3.\)
Ví dụ 4:
Tính giá trị của
\(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)
Hướng dẫn:
Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) \)
\(- \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\)
\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)
\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} \)
\(= \frac{1}{3}\).
Ví dụ 5:
Tìm giới hạn sau
\(C = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)
Hướng dẫn:
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k - 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra
\(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \)
\(= \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}...\frac{{(n - 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Định nghĩa
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = 0\)
Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi
\(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\)
sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), tức là:
Với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).
Dãy số \(({u_n})\) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
b) Một số giới hạn đặc biệt
\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)
\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)
\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } c = c\)
Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\).
2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:
\(\begin{array}{l}
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\\
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\\
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\\
\bullet {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}(b \ne 0)
\end{array}\)
\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0\,,{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \)
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\). Khi đó tổng
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ....\) gọi là tổng vô hạn của CSN và
\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
4. Giới hạn vô cực
a) Định nghĩa
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \) với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \).
b) Một số kết quả đặc biệt
\( \bullet\, \)\(\lim {n^k} = + \infty \) với mọi \(k > 0\)
\( \bullet\, \) \(\lim {q^n} = + \infty \) với mọi \(q > 1\).
c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:
|
\(\lim {u_n}\) |
\(\lim {v_n}\) |
\(\lim ({u_n}{v_n})\) |
|
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
|
\(\lim {u_n}\) |
Dấu của \(l\) |
\(\lim ({u_n}{v_n})\) |
|
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) |
\( + \) \( - \) \( + \) \( - \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
|
Dấu của \(l\) |
Dấu của \({v_n}\) |
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) |
|
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) |
\( + \) \( - \) \( + \) \( - \) |
\( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
5. Bài tập về Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} - \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Ví dụ 1:
a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)
Hướng dẫn:
a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).
b) \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} \)
\(= \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)
Ví dụ 2:
a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}.\)
Hướng dẫn:
a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}.\)
b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).
Ví dụ 3:
Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right).\)
Hướng dẫn:
Ta có \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right) \)
\(= \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} \)
\(= \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3.\)
Ví dụ 4:
Tính giá trị của
\(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)
Hướng dẫn:
Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) \)
\(- \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\)
\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)
\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} \)
\(= \frac{1}{3}\).
Ví dụ 5:
Tìm giới hạn sau
\(C = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)
Hướng dẫn:
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k - 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra
\(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \)
\(= \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}...\frac{{(n - 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).