Bài 3: Hàm số liên tục

- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\)

1) Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0} \)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

2) Hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \({x_0}\) ta nói hàm số gián đoạn tại \({x_0}\)

- \(y = f(x)\) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).

Định lý 1.

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lý 2. Các hàm số \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x)\) liên tục tại \({x_0}\). Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x₀, thương \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục nếu \(g({x_0}) \ne 0\).

Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Nếu \(f(a) \ne f(b)\) và M là một số nằm giữa \(f(a){\rm{ }},f(b)\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f(c) = M{\rm{ }}\)

Hệ quả:  Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Nếu \(f(a){\rm{ }}f(b) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f(c) = 0\).

Chú ý: Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :

Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu \(f(a){\rm{ }}f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((a;b)\).

Phương pháp:

\( \bullet \) Tìm giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) và tính \(f({x_0})\)

\( \bullet \) Nếu tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) thì ta so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) với \(f({x_0})\).

Chú ý:

1. Nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\) thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó

2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l \)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = l\).

3. Hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x)\,\,{\rm{khi}}x \ne {x_0}}\\
{k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x = {x_0}}
\end{array}} \right.\)

liên tục \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\)

4. Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{f_1}(x)\,\,{\rm{khi}}x \ge {x_0}}\\
{{f_2}(x)\,\,{\rm{khi}}x < {x_0}}
\end{array}} \right.\) 

liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})\).

Chú ý:

- Hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x)\,\,{\rm{khi}}x \ne {x_0}}\\
{k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x = {x_0}}
\end{array}} \right.\) 

liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\).

- Hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x)\,\,{\rm{khi}}x > {x_0}}\\
{g(x)\,\,{\rm{khi}}x \le {x_0}}
\end{array}} \right.\) 

liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g(x)\).

Ví dụ 1:

Xét tính liên tục của hàm số sau tại \(x = 3\)

a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{khi}}{\mkern 1mu} x \ne 3}\\
{\frac{{10}}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{khi}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 3}
\end{array}} \right.\)                 

b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3}  - 3}}\,\,\,{\rm{khi }}\,x < 3}\\{\,\,{{\left( {x - 1} \right)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,x \ge 3}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\)

Ta có \(f(3) = \frac{{10}}{3}\) và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{(x - 3)(x + 2)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{x + 2}} = \frac{{27}}{5} \ne f(3)\).

Vậy hàm số không liên tục tại \(x = 3\).

b) Ta có \(f(3) = 4\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {(x - 1)^2} = 4\)

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3}  - 3}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {2x + 3}  + 3}}{2} = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)
\end{array}\)

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).

Ví dụ 2:

Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra.

a) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 1\,\,{\rm{khi}}x \ne 1}\\
{{\rm{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x = 1}
\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\)                   

b) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\left| {{x^2} - x - 2} \right|}}{{x + 1}}\,\,{\rm{khi}}x \ne  - 1}\\
{1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x =  - 1}
\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(f(1) = 2\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 1) = 2 = f(1)\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).

b) Ta có \(f( - 1) = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} (2 - x) = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} (x - 2) =  - 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)\)

Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to  - 1\).

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x =  - 1\).

Ví dụ 3:

Tìm \(a\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 2\)

a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}\,\,{\rm{ khi  }}\,x \ne 2}\\{a\,\,\,{\rm{          khi  }}\,\,x = 2}\end{array}} \right.\)                                    

b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,x < 2}\\{\,\,a{x^2} + x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{   khi }}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(f(2) = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{4}{{\sqrt[3]{{{{(4x)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x}} + 4}} = \frac{1}{3}\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\).

b)  Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{({x^2} - 1)(x + 2)}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {a{x^2} + x + 1} \right)\)

\(= 4a + 3 = f(2)\)

Hàm số liên tục tại \(x = 2 \)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f(2)\)

\( \Leftrightarrow 4a + 3 = 1 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{2}\).                    

Phương pháp: Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ 1:

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:

a) \(f(x) = \tan 2x + \cos x\)                                      

b) \(f(x) = \frac{{\sqrt {x - 1}  + 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

Hướng dẫn:

a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Vậy hàm số liên tục trên \(D\)

b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 3x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số liên tục trên \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Ví dụ 2:

Xác định a để hàm số \(\,f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2}\\{\,\,\left( {1 - a} \right)x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)

liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Hướng dẫn:

Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\)

Với \(x < 2 \Rightarrow \) hàm số liên tục

Với \(x > 2 \Rightarrow \) hàm số liên tục

Với \(x = 2\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (1 - a)x \)

\(= 2(1 - a) = f(2)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}(x - 2)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {a^2}(\sqrt {x + 2}  + 2) = 4{a^2}\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \)

\(\Leftrightarrow 4{a^2} = 2(1 - a) \Leftrightarrow a =  - 1,a = \frac{1}{2}\).

Vậy \(a =  - 1,a = \frac{1}{2}\) là những giá trị cần tìm.

Phương pháp:

\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và có hai số \(a,b \in D\) sao cho \(f(a).f(b) < 0\).

\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau \(({a_i};{a_{i + 1}})\) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho \(f({a_i}).f({a_{i + 1}}) < 0\).

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

a) \({x^7} + 3{x^5} - 1 = 0\)                                        

b) \({x^2}\sin x + x\cos x + 1 = 0\)

Hướng dẫn:

a) Ta có hàm số \(f(x) = {x^7} + 3{x^5} - 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(1) =  - 3 < 0\)

Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;1)\).

b) Ta có hàm số \(f(x) = {x^2}\sin x + x\cos x + 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(\pi ) =  - \pi  < 0\). Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;\pi )\).

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

a) \({x^3} - 3x + 1 = 0\)                      

b) \(2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3\)

Hướng dẫn:

a) Hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x + 1\), ta có hàm số liên tục trên R và

\(f( - 2) =  - 1\,;\,f(0) = 1\,;\,f(1) =  - 1\)

\(f(2) = 3\)

\( \Rightarrow f( - 2).f(0) =  - 1 < 0\)

\(f(0).f(1) =  - 1 < 0\)

\(f(1).f(2) =  - 3 < 0\)

Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng

\(( - 2;0),(0;1),(1;2)\).

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.

b) Phương trình \( \Leftrightarrow 2x - 3 = 6\sqrt[3]{{x - 1}} \)

\(\Leftrightarrow {(2x - 3)^3} - 216(x - 1) = 0\)

Xét hs \(f(x) = {(2x - 3)^3} - 216(x - 1)\)

Ta có hàm số liên tục trên R và

\(f( - 4) =  - 251,f(0) = 189,\)

\(f(1) =  - 1,f(7) = 35\)

\( \Rightarrow f( - 4).f(0) < 0\,,f(0).f(1) < 0,\)

\(f(1).f(7) < 0\)

Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng

\(( - 4;0),(0;1),(1;7)\).

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.

- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\)

1) Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0} \)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

2) Hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \({x_0}\) ta nói hàm số gián đoạn tại \({x_0}\)

- \(y = f(x)\) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).

Định lý 1.

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lý 2. Các hàm số \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x)\) liên tục tại \({x_0}\). Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x₀, thương \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục nếu \(g({x_0}) \ne 0\).

Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Nếu \(f(a) \ne f(b)\) và M là một số nằm giữa \(f(a){\rm{ }},f(b)\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f(c) = M{\rm{ }}\)

Hệ quả:  Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Nếu \(f(a){\rm{ }}f(b) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f(c) = 0\).

Chú ý: Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :

Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu \(f(a){\rm{ }}f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((a;b)\).

Phương pháp:

\( \bullet \) Tìm giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) và tính \(f({x_0})\)

\( \bullet \) Nếu tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) thì ta so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) với \(f({x_0})\).

Chú ý:

1. Nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\) thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó

2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l \)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = l\).

3. Hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x)\,\,{\rm{khi}}x \ne {x_0}}\\
{k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x = {x_0}}
\end{array}} \right.\)

liên tục \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\)

4. Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{f_1}(x)\,\,{\rm{khi}}x \ge {x_0}}\\
{{f_2}(x)\,\,{\rm{khi}}x < {x_0}}
\end{array}} \right.\) 

liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})\).

Chú ý:

- Hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x)\,\,{\rm{khi}}x \ne {x_0}}\\
{k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x = {x_0}}
\end{array}} \right.\) 

liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\).

- Hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x)\,\,{\rm{khi}}x > {x_0}}\\
{g(x)\,\,{\rm{khi}}x \le {x_0}}
\end{array}} \right.\) 

liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g(x)\).

Ví dụ 1:

Xét tính liên tục của hàm số sau tại \(x = 3\)

a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{khi}}{\mkern 1mu} x \ne 3}\\
{\frac{{10}}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{khi}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 3}
\end{array}} \right.\)                 

b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3}  - 3}}\,\,\,{\rm{khi }}\,x < 3}\\{\,\,{{\left( {x - 1} \right)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,x \ge 3}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\)

Ta có \(f(3) = \frac{{10}}{3}\) và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{(x - 3)(x + 2)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{x + 2}} = \frac{{27}}{5} \ne f(3)\).

Vậy hàm số không liên tục tại \(x = 3\).

b) Ta có \(f(3) = 4\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {(x - 1)^2} = 4\)

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3}  - 3}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {2x + 3}  + 3}}{2} = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)
\end{array}\)

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).

Ví dụ 2:

Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra.

a) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 1\,\,{\rm{khi}}x \ne 1}\\
{{\rm{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x = 1}
\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\)                   

b) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\left| {{x^2} - x - 2} \right|}}{{x + 1}}\,\,{\rm{khi}}x \ne  - 1}\\
{1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}x =  - 1}
\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(f(1) = 2\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 1) = 2 = f(1)\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).

b) Ta có \(f( - 1) = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} (2 - x) = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} (x - 2) =  - 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)\)

Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to  - 1\).

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x =  - 1\).

Ví dụ 3:

Tìm \(a\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 2\)

a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}\,\,{\rm{ khi  }}\,x \ne 2}\\{a\,\,\,{\rm{          khi  }}\,\,x = 2}\end{array}} \right.\)                                    

b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,x < 2}\\{\,\,a{x^2} + x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{   khi }}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(f(2) = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{4}{{\sqrt[3]{{{{(4x)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x}} + 4}} = \frac{1}{3}\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\).

b)  Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{({x^2} - 1)(x + 2)}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {a{x^2} + x + 1} \right)\)

\(= 4a + 3 = f(2)\)

Hàm số liên tục tại \(x = 2 \)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f(2)\)

\( \Leftrightarrow 4a + 3 = 1 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{2}\).                    

Phương pháp: Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ 1:

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:

a) \(f(x) = \tan 2x + \cos x\)                                      

b) \(f(x) = \frac{{\sqrt {x - 1}  + 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

Hướng dẫn:

a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Vậy hàm số liên tục trên \(D\)

b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 3x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số liên tục trên \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Ví dụ 2:

Xác định a để hàm số \(\,f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2}\\{\,\,\left( {1 - a} \right)x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)

liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Hướng dẫn:

Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\)

Với \(x < 2 \Rightarrow \) hàm số liên tục

Với \(x > 2 \Rightarrow \) hàm số liên tục

Với \(x = 2\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (1 - a)x \)

\(= 2(1 - a) = f(2)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}(x - 2)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {a^2}(\sqrt {x + 2}  + 2) = 4{a^2}\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \)

\(\Leftrightarrow 4{a^2} = 2(1 - a) \Leftrightarrow a =  - 1,a = \frac{1}{2}\).

Vậy \(a =  - 1,a = \frac{1}{2}\) là những giá trị cần tìm.

Phương pháp:

\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và có hai số \(a,b \in D\) sao cho \(f(a).f(b) < 0\).

\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau \(({a_i};{a_{i + 1}})\) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho \(f({a_i}).f({a_{i + 1}}) < 0\).

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

a) \({x^7} + 3{x^5} - 1 = 0\)                                        

b) \({x^2}\sin x + x\cos x + 1 = 0\)

Hướng dẫn:

a) Ta có hàm số \(f(x) = {x^7} + 3{x^5} - 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(1) =  - 3 < 0\)

Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;1)\).

b) Ta có hàm số \(f(x) = {x^2}\sin x + x\cos x + 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(\pi ) =  - \pi  < 0\). Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;\pi )\).

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

a) \({x^3} - 3x + 1 = 0\)                      

b) \(2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3\)

Hướng dẫn:

a) Hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x + 1\), ta có hàm số liên tục trên R và

\(f( - 2) =  - 1\,;\,f(0) = 1\,;\,f(1) =  - 1\)

\(f(2) = 3\)

\( \Rightarrow f( - 2).f(0) =  - 1 < 0\)

\(f(0).f(1) =  - 1 < 0\)

\(f(1).f(2) =  - 3 < 0\)

Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng

\(( - 2;0),(0;1),(1;2)\).

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.

b) Phương trình \( \Leftrightarrow 2x - 3 = 6\sqrt[3]{{x - 1}} \)

\(\Leftrightarrow {(2x - 3)^3} - 216(x - 1) = 0\)

Xét hs \(f(x) = {(2x - 3)^3} - 216(x - 1)\)

Ta có hàm số liên tục trên R và

\(f( - 4) =  - 251,f(0) = 189,\)

\(f(1) =  - 1,f(7) = 35\)

\( \Rightarrow f( - 4).f(0) < 0\,,f(0).f(1) < 0,\)

\(f(1).f(7) < 0\)

Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng

\(( - 4;0),(0;1),(1;7)\).

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.