Bài 4: Cấp số nhân

Dãy số (u_n) được xác định bởi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) 

gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.

- Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

- Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Phương pháp:

- Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.

- Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)          

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15}\\
{u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15}\\
{u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85}
\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = 2}\\
{q = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11}\\
{{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}}\\
{{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.

c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

Hướng dẫn:

Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\
{{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\
{{q^5} = \frac{1}{{243}}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = \frac{1}{3}}\\
{{u_1} = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\(\begin{array}{l}
{S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}}\\
 = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}
\end{array}\)

c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \)

\(\Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

Ví dụ 1: 

Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân 

\( \Leftrightarrow {x^4} = 6 - {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 .\)

Ví dụ 2: 

Tìm \(x,y\) biết :

a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số

\({\left( {y - 1} \right)^2},xy - 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.

b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y - 1,2x - 3y\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y - 1)^2} = {(xy - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { - \sqrt 3 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x - 3y) = {(y - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { - 3; - 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).

Dãy số (u_n) được xác định bởi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) 

gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.

- Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

- Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Phương pháp:

- Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.

- Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)          

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15}\\
{u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15}\\
{u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85}
\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = 2}\\
{q = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11}\\
{{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}}\\
{{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.

c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

Hướng dẫn:

Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\
{{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\
{{q^5} = \frac{1}{{243}}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = \frac{1}{3}}\\
{{u_1} = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\(\begin{array}{l}
{S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}}\\
 = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}
\end{array}\)

c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \)

\(\Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

Ví dụ 1: 

Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân 

\( \Leftrightarrow {x^4} = 6 - {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 .\)

Ví dụ 2: 

Tìm \(x,y\) biết :

a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số

\({\left( {y - 1} \right)^2},xy - 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.

b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y - 1,2x - 3y\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y - 1)^2} = {(xy - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { - \sqrt 3 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x - 3y) = {(y - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { - 3; - 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).