Bài 2: Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số

\(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

- Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

- Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

- Cho số hạng tổng quát, tức là cho hàm số u xác định dãy số đó

- Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

+ Cho một vài số hạng đầu của dãy

+ Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho: 

\({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho: 

\({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

- Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(M\) sao cho: 

\(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

5. Bài toán về Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

b) Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).

Ví dụ 2:

Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{  }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\);

c) Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)

\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

- Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} - 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)

- Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} - 3) + 3 \)

\(= {2^{k + 2}} - 3\) đpcm.

c) Ta xét phép chia của \(n\) cho 3

- \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} - 1) - 1\)

Do \({2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

- \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} - 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

- \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} - 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.

6. Bài tập về Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

- Để xét tính đơn điệu của dãy số \(({u_n})\) ta xét : \({k_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

+ Nếu \({k_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

+ Nếu \({k_n} < 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

Khi \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\) ta có thể xét \({t_n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+ Nếu \({t_n} > 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

+ Nếu \({t_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

- Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{{1 - {u_{n - 1}}}}{2}\)

Do đó, để chứng minh dãy (u_n) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Thật vậy:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có \({u_n} > 1{\rm{ }},\forall n \ge 1\)

Suy ra \({u_n} - {u_{n - 1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n - 1}}{\rm{  }}\forall n \ge 2\) hay dãy \(({u_n})\) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: \(1 < {u_n} < {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Vậy dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số

\(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

- Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

- Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

- Cho số hạng tổng quát, tức là cho hàm số u xác định dãy số đó

- Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

+ Cho một vài số hạng đầu của dãy

+ Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho: 

\({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho: 

\({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

- Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(M\) sao cho: 

\(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

5. Bài toán về Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

b) Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).

Ví dụ 2:

Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{  }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\);

c) Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)

\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

- Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} - 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)

- Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} - 3) + 3 \)

\(= {2^{k + 2}} - 3\) đpcm.

c) Ta xét phép chia của \(n\) cho 3

- \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} - 1) - 1\)

Do \({2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

- \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} - 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

- \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} - 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.

6. Bài tập về Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

- Để xét tính đơn điệu của dãy số \(({u_n})\) ta xét : \({k_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

+ Nếu \({k_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

+ Nếu \({k_n} < 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

Khi \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\) ta có thể xét \({t_n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+ Nếu \({t_n} > 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

+ Nếu \({t_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

- Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{{1 - {u_{n - 1}}}}{2}\)

Do đó, để chứng minh dãy (u_n) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Thật vậy:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có \({u_n} > 1{\rm{ }},\forall n \ge 1\)

Suy ra \({u_n} - {u_{n - 1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n - 1}}{\rm{  }}\forall n \ge 2\) hay dãy \(({u_n})\) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: \(1 < {u_n} < {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Vậy dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.