Bài 3 :Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)
gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.
2. Các tính chất
- Số hạng thứ n được cho bởi công thức:
\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
- Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
\({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \)
\(= \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).
3. Bài tập về Xác định cấp số cộng và xác yếu tố của cấp số cộng
Phương pháp:
- Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.
- Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).
- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).
Ví dụ 1:
Cho CSC \(({u_n})\) thỏa :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
a) Xác định công sai.
b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).
Hướng dẫn:
Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)
Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát:
\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).
Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có:
\(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)
Ví dụ 2:
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right.\).
a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.
b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).
Hướng dẫn:
Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 7\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.\).
a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d = - 295\)
b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = - 285\)
c) \(S = {S_{30}} - {S_3}\)
\(= 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) \)
\(= - 1242\).
4. Bài tập về Chứng minh tính chất của cấp số cộng
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
- Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Ví dụ:
Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC
Hướng dẫn:
Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).
Ta có:
\(\sqrt 3 = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ.
5. Bài tập về Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng
Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Ví dụ 1:
Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn:
Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2)\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)
Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 2:
Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn:
Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó:
\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3\)
\(\Rightarrow {x_2} = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).
Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)
Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.
1. Định nghĩa
Dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)
gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.
2. Các tính chất
- Số hạng thứ n được cho bởi công thức:
\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
- Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
\({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \)
\(= \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).
3. Bài tập về Xác định cấp số cộng và xác yếu tố của cấp số cộng
Phương pháp:
- Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.
- Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).
- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).
Ví dụ 1:
Cho CSC \(({u_n})\) thỏa :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
a) Xác định công sai.
b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).
Hướng dẫn:
Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)
Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát:
\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).
Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có:
\(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)
Ví dụ 2:
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right.\).
a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.
b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).
Hướng dẫn:
Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 7\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.\).
a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d = - 295\)
b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = - 285\)
c) \(S = {S_{30}} - {S_3}\)
\(= 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) \)
\(= - 1242\).
4. Bài tập về Chứng minh tính chất của cấp số cộng
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
- Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Ví dụ:
Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC
Hướng dẫn:
Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).
Ta có:
\(\sqrt 3 = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ.
5. Bài tập về Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng
Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Ví dụ 1:
Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn:
Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2)\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)
Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 2:
Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn:
Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó:
\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3\)
\(\Rightarrow {x_2} = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).
Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)
Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.