Bài 3 :Cấp số cộng

Dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)

gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

- Số hạng thứ n được cho bởi công thức:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

- Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi

\({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).

- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \)

\(= \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).

Phương pháp:

- Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.

- Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).

Ví dụ 1: 

Cho CSC \(({u_n})\) thỏa :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)

a) Xác định công sai.

b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)

Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).

Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có:

\(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)

Ví dụ 2: 

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} =  - 21\\3{u_7} - 2{u_4} =  - 34\end{array} \right.\).

a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).

Hướng dẫn:

Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) =  - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) =  - 34\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d =  - 7\\{u_1} + 12d =  - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d =  - 3\end{array} \right.\).

a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d =  - 295\)

b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] =  - 285\)

c) \(S = {S_{30}} - {S_3}\)

\(= 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) \)

\(=  - 1242\).

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.

- Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

Ví dụ:

Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC

Hướng dẫn:

Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).

Ta có:

\(\sqrt 3  = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ.

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

Ví dụ 1: 

Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng

\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2)\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)

Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2:

Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:

\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3\)

\(\Rightarrow {x_2} = 1\)

Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).

Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.

Dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)

gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

- Số hạng thứ n được cho bởi công thức:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

- Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi

\({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).

- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \)

\(= \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).

Phương pháp:

- Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.

- Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).

Ví dụ 1: 

Cho CSC \(({u_n})\) thỏa :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)

a) Xác định công sai.

b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)

Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).

Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có:

\(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)

Ví dụ 2: 

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} =  - 21\\3{u_7} - 2{u_4} =  - 34\end{array} \right.\).

a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).

Hướng dẫn:

Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) =  - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) =  - 34\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d =  - 7\\{u_1} + 12d =  - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d =  - 3\end{array} \right.\).

a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d =  - 295\)

b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] =  - 285\)

c) \(S = {S_{30}} - {S_3}\)

\(= 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) \)

\(=  - 1242\).

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.

- Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

Ví dụ:

Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC

Hướng dẫn:

Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).

Ta có:

\(\sqrt 3  = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ.

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

Ví dụ 1: 

Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng

\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2)\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)

Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2:

Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:

\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3\)

\(\Rightarrow {x_2} = 1\)

Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).

Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.