Bài 11: Phương pháp giải một số bài toán về toàn mạch
1. Những lưu ý trong phương pháp giải
Khi giải bài toán về toàn mạch người ta thường trải qua 4 bước cơ bản :
-
Cần phải nhận dạng loại bộ nguồn và áp dụng công thức tương ứng để tính suất điện động và điện trở trong của bộ nguồn
-
Cần phải nhận dạng các điện trở mạch ngoài được mắc như thế nào để để tính điện trở tương đương của mạch ngoài.
-
Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch để tìm các ẩn số theo yêu cầu của đề ra.
Các công thức cần sử dụng :
\(\begin{array}{l}
I = \frac{E}{{{R_N} + r}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\
E = I\left( {{R_N} + r} \right)\\
U = I{R_N} = E - Ir;\\
{A_{ng}} = E.I.t;\\
{P_{ng}} = EI;\\
A = U.It;P = U.I
\end{array}\)
2. Vận dụng
Cho sơ đồ mạch điện kín như hình vẽ: Trong đó mỗi nguồn có \(\xi = 3.3\;V,r = 0.06\;\Omega \).
Trên đèn bóng Đ1 có ghi 6V – 3W; bóng đèn Đ2 ghi 2.5V – 1.25W. Điều chỉnh \(\mathop R\nolimits_{b1} \) và \(\mathop R\nolimits_{b2} \) sao cho Đ1 và Đ2 sáng bình thường.
1. Tính giá trị \(\mathop R\nolimits_{b1} \) và \(\mathop R\nolimits_{b2} \)
2. Tính công suất của bộ nguồn và hiệu suất của bộ nguồn khi đó?
Hướng dẫn giải
1.
-
Suất điện động và điện trở trong của bộ nguồn:
\(\mathop \xi \nolimits_b = \;2\xi = \;6,6\;V;\;\mathop r\nolimits_b = \;2r = 0,12\;\Omega \;\)
-
Cường độ định mức và điện trở của bóng đèn 1:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{ }}{I_{dm1}} = \frac{{{\rm{ }}{P_{dm1}}}}{{{\rm{ }}{U_{dm1}}}} = 0,5A;\;}\\
{{\rm{ }}{R_{d1}} = \frac{{{\rm{ }}U_{dm1}^2}}{{{\rm{ }}{P_{dm1}}}} = 12\Omega }
\end{array}\)
-
Cường độ định mức và điện trở của bóng đèn 2:
\(\begin{array}{l}
\mathop I\nolimits_{dm2} = \frac{{\mathop P\nolimits_{dm2} }}{{\mathop U\nolimits_{dm2} }} = 0,5A;\;\\
\mathop R\nolimits_{d2} = \frac{{\mathop U\nolimits_{dm2}^2 }}{{\mathop P\nolimits_{dm2} }} = 5\Omega
\end{array}\)
-
Để đèn sáng bình thường thì:
\(\begin{array}{l}
\mathop I\nolimits_1 = \mathop I\nolimits_{dm1} \;;\;\\
\mathop I\nolimits_2 = \mathop I\nolimits_{dm2} = \mathop I\nolimits_{Rb2} ;\\
\mathop U\nolimits_{BC} = \mathop U\nolimits_1 = \mathop U\nolimits_2 = \mathop U\nolimits_{dm1} = 6V
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
{\rm{ }}{I_{BC}} = {\rm{ }}{I_{dm1}}\; + {\rm{ }}{I_{dm2}}\\
= {\rm{ }}{I_1}{\rm{ }} + {\rm{ }}{I_2} = 1A\\
= {\rm{ }}{I_{AB}} = {\rm{ }}{I_{AC}} = I
\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\rm{ }}{U_{AC}} = {\rm{ }}{I_{AC}}.{\rm{ }}{R_{AC}}\\
= {\xi _b} - {\rm{ }}{I_{AC}}.{r_b} = 6,48V
\end{array}\\
{ \Rightarrow \;{\rm{ }}{U_{AB}} = {\rm{ }}{U_{AC}} - {\rm{ }}{U_{BC}} = 0,48V}\\
{ \Rightarrow \;{\rm{ }}{R_{AB}} = {\rm{ }}{R_{b1}} = \frac{{{\rm{ }}{U_{AB}}}}{I} = 0,48\Omega }
\end{array}\)
và: \(\begin{array}{l}
\mathop U\nolimits_{Rb2} = \mathop U\nolimits_{BC} - \mathop U\nolimits_{dm2} = 3,5V\\
\Rightarrow \mathop R\nolimits_{b2} = \frac{{\mathop U\nolimits_{b2} }}{{\mathop I\nolimits_2 }} = 7\Omega
\end{array}\)
2.
Công suất của bộ nguồn:
\(\mathop P\nolimits_{bng} = \mathop \xi \nolimits_b .I = 6,6\;W\)
Hiệu suất của bộ nguồn:
\(\begin{array}{l}
{\rm{ }}{H_b} = \frac{{{\rm{ }}{U_{AC}}}}{{{\xi _b}}} = \frac{{{\rm{ }}{R_{AC}}}}{{{\rm{ }}{R_{AC}} + {\rm{ }}{r_b}}}\\
= \frac{{6,48}}{{6,6}} \approx 98,2\%
\end{array}\)
Bài 1 :
Một mạch điện có sơ đồ như hình vẽ:
Trong nguồn điện có suất điện động 6V và có điện trở trong \(r = 2\Omega \) ,các điện trở \({R_1} = 5\Omega ;{R_2} = 10\Omega ;{\rm{ }}{R_3} = 3\Omega \)
a) Tính \({R_N}?\)
b) Tính \(I?;\,{U_n}?\)
c) Tìm \({U_1}?\)
Hướng dẫn giải
a. Điện trở mạch ngoài:
\({R_N}\, = \,{R_1}\, + \,{R_2}\, + \,R{}_3\, = \,18\Omega \)
b.
-
Dòng điện qua mạch:
\(I\, = \,\frac{\xi }{{{R_N}\, + \,r}}\, = \,0,3\,A\)
-
Hiệu điện thế mạch ngoài:
\({U_N} = I.{R_N} = 5,4{\rm{ }}V\)
c. Hiệu điện thế giữa hai đầu \({R_1}\):
\({U_1} = I{R_1} = 1,5V\)
Bài 2:
Một mạch điện có sơ đồ như hình vẽ, trong đó nguồn điện có suất điện động \(\xi = 12,5V;{\rm{ }}r = 0,4\Omega \); bóng đèn Đ1 ghi 12V- 6W. Bóng đèn Đ2 ghi 6V- 4,5W, \({R_b}\) là biến trở.
Hướng dẫn giải
-
Điện trở của các đèn:
\(\begin{array}{l}
{\rm{ }}{R_1} = \frac{{U_{dm1}^2}}{{{{\rm{P}}_{dm1}}}} = \frac{{144}}{6} = 24\Omega \\
{R_2} = \frac{{U_{dm2}^2}}{{{{\rm{P}}_{dm2}}}} = \frac{{36}}{{4,5}} = 8\Omega
\end{array}\)
-
Điện trở của mạch ngoài:
\({{R_{b2}} = {R_b} + {R_2} = 8 + 8 = 16\Omega }\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {R_N} = \frac{{{R_1}.{R_{b2}}}}{{{R_1} + {R_{b2}}}}\\
= \frac{{24.16}}{{24 + 16}} = 9,6\Omega
\end{array}\)
Vậy, \({R_N} = 9,6\Omega \)
-
Cường độ dòng điện chạy trong toàn mạch:
\(\begin{array}{l}
{\rm{I}} = \frac{\xi }{{{R_N} + r}}\\
= \frac{{12,5}}{{9,6 + 0,4}} = 1,25{\rm{A}}
\end{array}\)
-
Hiệu điện thế mạch ngoài:
\({U_N} = I.{R_N} = 1,25.9,6 = 12V\)
-
Vì Đ1 mắc song song với (Đ2 nối tiếp biến trở) nên :
\({U_1} = {U_{b2}} = {U_N} = 12V\)
\( \Rightarrow {{\rm I}_1} = \frac{{{U_1}}}{{{R_1}}} = \frac{{12}}{{24}} = 0,5{\rm A}\)
Ta có: \({{\rm I}_{b2}} = \frac{{{U_{b2}}}}{{{R_{b2}}}} = \frac{{12}}{{16}} = 0,75{\rm A}\)
-
Mà Đ2 mắc nối tiếp với biến trở nên : \({I_b} = {I_2} = {I_{b2}} = 0,75A\)
\(\begin{array}{l}
{{\rm I}_{dm1}} = \frac{{{{\rm P}_{dm1}}}}{{{U_{dm1}}}} = \frac{6}{{12}} = 0,5{\rm A};\\
{{\rm I}_{dm2}} = \frac{{{{\rm P}_{dm2}}}}{{{U_{dm2}}}} = \frac{{4,5}}{6} = 0,75{\rm A}
\end{array}\)
-
Ta thấy :
\({{\rm I}_1} = {{\rm I}_{dm1}};{{\rm I}_2} = {{\rm I}_{dm2}} \Rightarrow \) Hai đèn sáng bình thường
b.
-
Công suất của nguồn:
\({{\rm P}_{ng}} = \xi .{\rm I} = 12,5.1,25 = 15,625\)
-
Hiệu suất của nguồn:
\(H = \frac{{{U_N}}}{\xi } = \frac{{12}}{{12,5}} = 0,96 = 96\% \)
Bài 3:
Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ, trong đó nguồn điện có suất điện động \(\varepsilon = 12V\), và điện trở trong là \(r = 1,1 \Omega\); điện trở \(R = 0,1 \Omega\).
a) Điện trở \(x\) phải có trị số bao nhiêu để công suất tiêu thụ ở ngoài mạch là lớn nhất?
b) Điện trở \(x\) phải có trị số bao nhiêu để công suất tiêu thụ ở điện trở này là lớn nhất? Tính công suất lớn nhất đó.
Hướng dẫn giải:
a.
-
Tính điện trở \(x\) để công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là lớn nhất.
-
Mạch ngoài gồm điện trở R mắc nối tiếp với điện trở x, có điện trở tương đương là:
\(R_N = R + x = 0,1 + x\).
-
Cường độ dòng điện trong trong mạch:
\(I = \frac{\varepsilon }{{(R + r + x)}}\)
-
Công suất tiêu thụ mạch ngoài:
\(\begin{array}{l}
P = {I^2}.{R_N}\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}(R + x)}}{{{{(R + r + x)}^2}}}\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}}}{{{{\left( {\sqrt {R + x} + \frac{r}{{\sqrt {R + x} }}} \right)}^2}}}
\end{array}\)
-
Để công suất P trên đây lớn nhất thì mẫu số ở về phải là nhỏ nhát.
Từ bất đẳng thức cô- si ta có \(R + x = r.\)
-
Từ đó suy ra: \(x = {\rm{ }}r-R{\rm{ }} = 1{\rm{ }}\Omega .\)
b.
-
Công suất tiêu thụ trên điện trở \(x\):
\(\begin{array}{l}
{P_x} = {R_x}.{I^2} = {R_x}{\left[ {\frac{\varepsilon }{{(R + r + x)}}} \right]^2}\\
\Leftrightarrow {P_x} = \frac{{{\varepsilon ^2}}}{{{R_x} + 2(R + r) + \frac{{{{(R + r)}^2}}}{{{R_x}}}}}
\end{array}\)
-
Từ các tính toán trên, ta có công suất tiêu thụ của điện trở \(x\) là:
\(\begin{array}{l}
{P_x} = {I^2}.x\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}x}}{{{{(R + r + x)}^2}}}\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}}}{{{{\left( {\sqrt {R + x} + \frac{r}{{\sqrt {R + x} }}} \right)}^2}}}
\end{array}\)
-
Tương tự như đã làm ở trên đây, công suất \({P_x}\) lớn nhất khi :
\(x = R{\rm{ }} + {\rm{ }}r = 1,2{\rm{ }}\Omega .\)
-
Giá trị của công suất lớn nhất này là: 30 W.
1. Những lưu ý trong phương pháp giải
Khi giải bài toán về toàn mạch người ta thường trải qua 4 bước cơ bản :
-
Cần phải nhận dạng loại bộ nguồn và áp dụng công thức tương ứng để tính suất điện động và điện trở trong của bộ nguồn
-
Cần phải nhận dạng các điện trở mạch ngoài được mắc như thế nào để để tính điện trở tương đương của mạch ngoài.
-
Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch để tìm các ẩn số theo yêu cầu của đề ra.
Các công thức cần sử dụng :
\(\begin{array}{l}
I = \frac{E}{{{R_N} + r}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\
E = I\left( {{R_N} + r} \right)\\
U = I{R_N} = E - Ir;\\
{A_{ng}} = E.I.t;\\
{P_{ng}} = EI;\\
A = U.It;P = U.I
\end{array}\)
2. Vận dụng
Cho sơ đồ mạch điện kín như hình vẽ: Trong đó mỗi nguồn có \(\xi = 3.3\;V,r = 0.06\;\Omega \).
Trên đèn bóng Đ1 có ghi 6V – 3W; bóng đèn Đ2 ghi 2.5V – 1.25W. Điều chỉnh \(\mathop R\nolimits_{b1} \) và \(\mathop R\nolimits_{b2} \) sao cho Đ1 và Đ2 sáng bình thường.
1. Tính giá trị \(\mathop R\nolimits_{b1} \) và \(\mathop R\nolimits_{b2} \)
2. Tính công suất của bộ nguồn và hiệu suất của bộ nguồn khi đó?
Hướng dẫn giải
1.
-
Suất điện động và điện trở trong của bộ nguồn:
\(\mathop \xi \nolimits_b = \;2\xi = \;6,6\;V;\;\mathop r\nolimits_b = \;2r = 0,12\;\Omega \;\)
-
Cường độ định mức và điện trở của bóng đèn 1:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{ }}{I_{dm1}} = \frac{{{\rm{ }}{P_{dm1}}}}{{{\rm{ }}{U_{dm1}}}} = 0,5A;\;}\\
{{\rm{ }}{R_{d1}} = \frac{{{\rm{ }}U_{dm1}^2}}{{{\rm{ }}{P_{dm1}}}} = 12\Omega }
\end{array}\)
-
Cường độ định mức và điện trở của bóng đèn 2:
\(\begin{array}{l}
\mathop I\nolimits_{dm2} = \frac{{\mathop P\nolimits_{dm2} }}{{\mathop U\nolimits_{dm2} }} = 0,5A;\;\\
\mathop R\nolimits_{d2} = \frac{{\mathop U\nolimits_{dm2}^2 }}{{\mathop P\nolimits_{dm2} }} = 5\Omega
\end{array}\)
-
Để đèn sáng bình thường thì:
\(\begin{array}{l}
\mathop I\nolimits_1 = \mathop I\nolimits_{dm1} \;;\;\\
\mathop I\nolimits_2 = \mathop I\nolimits_{dm2} = \mathop I\nolimits_{Rb2} ;\\
\mathop U\nolimits_{BC} = \mathop U\nolimits_1 = \mathop U\nolimits_2 = \mathop U\nolimits_{dm1} = 6V
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
{\rm{ }}{I_{BC}} = {\rm{ }}{I_{dm1}}\; + {\rm{ }}{I_{dm2}}\\
= {\rm{ }}{I_1}{\rm{ }} + {\rm{ }}{I_2} = 1A\\
= {\rm{ }}{I_{AB}} = {\rm{ }}{I_{AC}} = I
\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\rm{ }}{U_{AC}} = {\rm{ }}{I_{AC}}.{\rm{ }}{R_{AC}}\\
= {\xi _b} - {\rm{ }}{I_{AC}}.{r_b} = 6,48V
\end{array}\\
{ \Rightarrow \;{\rm{ }}{U_{AB}} = {\rm{ }}{U_{AC}} - {\rm{ }}{U_{BC}} = 0,48V}\\
{ \Rightarrow \;{\rm{ }}{R_{AB}} = {\rm{ }}{R_{b1}} = \frac{{{\rm{ }}{U_{AB}}}}{I} = 0,48\Omega }
\end{array}\)
và: \(\begin{array}{l}
\mathop U\nolimits_{Rb2} = \mathop U\nolimits_{BC} - \mathop U\nolimits_{dm2} = 3,5V\\
\Rightarrow \mathop R\nolimits_{b2} = \frac{{\mathop U\nolimits_{b2} }}{{\mathop I\nolimits_2 }} = 7\Omega
\end{array}\)
2.
Công suất của bộ nguồn:
\(\mathop P\nolimits_{bng} = \mathop \xi \nolimits_b .I = 6,6\;W\)
Hiệu suất của bộ nguồn:
\(\begin{array}{l}
{\rm{ }}{H_b} = \frac{{{\rm{ }}{U_{AC}}}}{{{\xi _b}}} = \frac{{{\rm{ }}{R_{AC}}}}{{{\rm{ }}{R_{AC}} + {\rm{ }}{r_b}}}\\
= \frac{{6,48}}{{6,6}} \approx 98,2\%
\end{array}\)
Bài 1 :
Một mạch điện có sơ đồ như hình vẽ:
Trong nguồn điện có suất điện động 6V và có điện trở trong \(r = 2\Omega \) ,các điện trở \({R_1} = 5\Omega ;{R_2} = 10\Omega ;{\rm{ }}{R_3} = 3\Omega \)
a) Tính \({R_N}?\)
b) Tính \(I?;\,{U_n}?\)
c) Tìm \({U_1}?\)
Hướng dẫn giải
a. Điện trở mạch ngoài:
\({R_N}\, = \,{R_1}\, + \,{R_2}\, + \,R{}_3\, = \,18\Omega \)
b.
-
Dòng điện qua mạch:
\(I\, = \,\frac{\xi }{{{R_N}\, + \,r}}\, = \,0,3\,A\)
-
Hiệu điện thế mạch ngoài:
\({U_N} = I.{R_N} = 5,4{\rm{ }}V\)
c. Hiệu điện thế giữa hai đầu \({R_1}\):
\({U_1} = I{R_1} = 1,5V\)
Bài 2:
Một mạch điện có sơ đồ như hình vẽ, trong đó nguồn điện có suất điện động \(\xi = 12,5V;{\rm{ }}r = 0,4\Omega \); bóng đèn Đ1 ghi 12V- 6W. Bóng đèn Đ2 ghi 6V- 4,5W, \({R_b}\) là biến trở.
Hướng dẫn giải
-
Điện trở của các đèn:
\(\begin{array}{l}
{\rm{ }}{R_1} = \frac{{U_{dm1}^2}}{{{{\rm{P}}_{dm1}}}} = \frac{{144}}{6} = 24\Omega \\
{R_2} = \frac{{U_{dm2}^2}}{{{{\rm{P}}_{dm2}}}} = \frac{{36}}{{4,5}} = 8\Omega
\end{array}\)
-
Điện trở của mạch ngoài:
\({{R_{b2}} = {R_b} + {R_2} = 8 + 8 = 16\Omega }\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {R_N} = \frac{{{R_1}.{R_{b2}}}}{{{R_1} + {R_{b2}}}}\\
= \frac{{24.16}}{{24 + 16}} = 9,6\Omega
\end{array}\)
Vậy, \({R_N} = 9,6\Omega \)
-
Cường độ dòng điện chạy trong toàn mạch:
\(\begin{array}{l}
{\rm{I}} = \frac{\xi }{{{R_N} + r}}\\
= \frac{{12,5}}{{9,6 + 0,4}} = 1,25{\rm{A}}
\end{array}\)
-
Hiệu điện thế mạch ngoài:
\({U_N} = I.{R_N} = 1,25.9,6 = 12V\)
-
Vì Đ1 mắc song song với (Đ2 nối tiếp biến trở) nên :
\({U_1} = {U_{b2}} = {U_N} = 12V\)
\( \Rightarrow {{\rm I}_1} = \frac{{{U_1}}}{{{R_1}}} = \frac{{12}}{{24}} = 0,5{\rm A}\)
Ta có: \({{\rm I}_{b2}} = \frac{{{U_{b2}}}}{{{R_{b2}}}} = \frac{{12}}{{16}} = 0,75{\rm A}\)
-
Mà Đ2 mắc nối tiếp với biến trở nên : \({I_b} = {I_2} = {I_{b2}} = 0,75A\)
\(\begin{array}{l}
{{\rm I}_{dm1}} = \frac{{{{\rm P}_{dm1}}}}{{{U_{dm1}}}} = \frac{6}{{12}} = 0,5{\rm A};\\
{{\rm I}_{dm2}} = \frac{{{{\rm P}_{dm2}}}}{{{U_{dm2}}}} = \frac{{4,5}}{6} = 0,75{\rm A}
\end{array}\)
-
Ta thấy :
\({{\rm I}_1} = {{\rm I}_{dm1}};{{\rm I}_2} = {{\rm I}_{dm2}} \Rightarrow \) Hai đèn sáng bình thường
b.
-
Công suất của nguồn:
\({{\rm P}_{ng}} = \xi .{\rm I} = 12,5.1,25 = 15,625\)
-
Hiệu suất của nguồn:
\(H = \frac{{{U_N}}}{\xi } = \frac{{12}}{{12,5}} = 0,96 = 96\% \)
Bài 3:
Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ, trong đó nguồn điện có suất điện động \(\varepsilon = 12V\), và điện trở trong là \(r = 1,1 \Omega\); điện trở \(R = 0,1 \Omega\).
a) Điện trở \(x\) phải có trị số bao nhiêu để công suất tiêu thụ ở ngoài mạch là lớn nhất?
b) Điện trở \(x\) phải có trị số bao nhiêu để công suất tiêu thụ ở điện trở này là lớn nhất? Tính công suất lớn nhất đó.
Hướng dẫn giải:
a.
-
Tính điện trở \(x\) để công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là lớn nhất.
-
Mạch ngoài gồm điện trở R mắc nối tiếp với điện trở x, có điện trở tương đương là:
\(R_N = R + x = 0,1 + x\).
-
Cường độ dòng điện trong trong mạch:
\(I = \frac{\varepsilon }{{(R + r + x)}}\)
-
Công suất tiêu thụ mạch ngoài:
\(\begin{array}{l}
P = {I^2}.{R_N}\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}(R + x)}}{{{{(R + r + x)}^2}}}\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}}}{{{{\left( {\sqrt {R + x} + \frac{r}{{\sqrt {R + x} }}} \right)}^2}}}
\end{array}\)
-
Để công suất P trên đây lớn nhất thì mẫu số ở về phải là nhỏ nhát.
Từ bất đẳng thức cô- si ta có \(R + x = r.\)
-
Từ đó suy ra: \(x = {\rm{ }}r-R{\rm{ }} = 1{\rm{ }}\Omega .\)
b.
-
Công suất tiêu thụ trên điện trở \(x\):
\(\begin{array}{l}
{P_x} = {R_x}.{I^2} = {R_x}{\left[ {\frac{\varepsilon }{{(R + r + x)}}} \right]^2}\\
\Leftrightarrow {P_x} = \frac{{{\varepsilon ^2}}}{{{R_x} + 2(R + r) + \frac{{{{(R + r)}^2}}}{{{R_x}}}}}
\end{array}\)
-
Từ các tính toán trên, ta có công suất tiêu thụ của điện trở \(x\) là:
\(\begin{array}{l}
{P_x} = {I^2}.x\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}x}}{{{{(R + r + x)}^2}}}\\
= \frac{{{\varepsilon ^2}}}{{{{\left( {\sqrt {R + x} + \frac{r}{{\sqrt {R + x} }}} \right)}^2}}}
\end{array}\)
-
Tương tự như đã làm ở trên đây, công suất \({P_x}\) lớn nhất khi :
\(x = R{\rm{ }} + {\rm{ }}r = 1,2{\rm{ }}\Omega .\)
-
Giá trị của công suất lớn nhất này là: 30 W.