Thử tài bạn trang 43(2) Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Tìm a để đa thức \(({x^2} + 2x + a)\) chia hết cho đa thức \((x - 1)\) .

Lời giải chi tiết

Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị x.

Do đó \(a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3\). Vậy \(a =  - 3\) thì \({x^2} + 2x + a\) chia hết cho \(x - 1\)

Cách 2:

Gọi thương khi chia \({x^2} + 2x + a\) cho \(x - 1\) là \(Q\left( x \right)\), ta có: \({x^2} + 2x + a = \left( {x - 1} \right)Q\left( x \right)\)

Vì đẳng thức trên đúng với mọi x nên cho \(x = 1\)

Ta có: \({1^2} + 2.1 + a = 0 \Rightarrow 3 + a = 0 \Rightarrow a =  - 3\)

Vậy với \(a =  - 3\) thì \({x^2} + 2x + a\) chia hết cho \(x - 1\).

Cách 3:

Đa thức bị chia có bậc hai, đa thức chia có bậc một nên thương là một nhị thức bậc nhất, có hạng tử bậc nhất là \({x^2}:x = x\).

Gọi thương là \(x + b\), ta có:

\(\eqalign{  & {x^2} + 2x + a = \left( {x - 1} \right)\left( {x + b} \right)  \cr  & {x^2} + 2x + a = {x^2} + bx - x - b  \cr  & {x^2} + 2x + a = {x^2} + \left( {b - 1} \right)x - b \cr} \)

Do đó \(2 = b - 1\) và \(a =  - b \Rightarrow b = 3\) và \(a =  - b\)

Nên \(a =  - 3\).

Vậy với \(a =  - 3\) thì \({x^2} + 2x + a\) chia hết cho \(x - 1\).