Phương pháp giải một số dạng bài tập về mạch dao động

Dạng 1: Tìm chu kì, tần số và năng lượng của mạch dao động LC

* Sử dụng các công thức cơ bản: 

- Tần số góc riêng: \(\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f\)

- Chu kì dao động riêng: \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 2\pi \sqrt {LC} \)

- Tần số dao động riêng: \(T = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\)

- Năng lượng điện từ của mạch dao động:

\(W = {W_C} + {W_L} = \frac{1}{2}C{u^2} + \frac{1}{2}L{i^2} \\= \frac{1}{2}\frac{{q_0^2}}{C} = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}LI_0^2 = const\)

* Ghép thêm tụ điện: 

Mạch dao động \(L{C_1}\) có chu kì \({T_1}\) và tần số \({f_1}\)

Mạch dao động \(L{C_2}\) có chu kì \({T_2}\) và tần số \({f_2}\)

- Trường hợp 1: \({C_1}nt{C_2}\). Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{C} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}}\\{f^2} = f_1^2 + f_2^2\\\frac{1}{{{T^2}}} = \frac{1}{{T_1^2}} + \frac{1}{{T_2^2}}\end{array} \right.\)

- Trường hợp 2: \({C_1}//{C_2}\). Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}C = {C_1} + {C_2}\\\frac{1}{f} = \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}}\\{T^2} = T_1^2 + T_2^2\end{array} \right.\)

* Ghép thêm cuộn cảm: 

Mạch dao động \({L_1}C\) có chu kì \({T_1}\) và tần số \({f_1}\)

Mạch dao động \({L_2}C\) có chu kì \({T_2}\) và tần số \({f_2}\)

- Trường hợp 1: \({L_1}nt{L_2}\). Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}L = {L_1} + {L_2}\\\frac{1}{f} = \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}}\\{T^2} = T_1^2 + T_2^2\end{array} \right.\)

- Trường hợp 2: \({L_1}//{L_2}\). Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{L} = \frac{1}{{{L_1}}} + \frac{1}{{{L_2}}}\\{f^2} = f_1^2 + f_2^2\\\frac{1}{{{T^2}}} = \frac{1}{{T_1^2}} + \frac{1}{{T_2^2}}\end{array} \right.\)

Ví dụ: Một mạch dao động gồm cuộn dây L và tụ điện C. Nếu dùng tụ \({C_1}\) thì tần số dao động riêng của mạch là 60kHz, nếu dùng tụ \({C_2}\) thì tần số dao động riêng là 80kHz. Hỏi tần số dao động riêng của mạch là bao nhiêu nếu:

a) Hai tụ \({C_1}\) và \({C_2}\) mắc song song

b) Hai tụ \({C_1}\) và \({C_2}\) mắc nối tiếp

Hướng dẫn giải

a) \({C_1}//{C_2}\)

=> \(\frac{1}{{{f^2}}} = \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}} = \frac{1}{{{{60}^2}}} + \frac{1}{{{{80}^2}}} \Rightarrow f = 48kHz\)

b) \({C_1}nt{C_2}\)

=> \({f^2} = f_1^2 + f_2^2 = {60^2} + {80^2} \Rightarrow f = 100kHz\)

Dạng 2: Viết biểu thức dòng điện, hiệu điện thế trong mạch dao động LC

Xét một mạch dao động LC lí tưởng.

Giả sử điện tích trên hai bản cực của tụ điện biến thiên với \(q = {Q_0}.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) thì:

- Biểu thức hiệu điện thế giữa hai bản cực của tụ điện:

\(u = {U_0}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) với \({U_0} = \frac{{{Q_0}}}{C}\)

- Biểu thức cường độ dòng điện \(i = {I_0}\cos \left( {\omega t + \varphi  + \frac{\pi }{2}} \right)\) với \({I_0} = \omega {Q_0}\)

Ví dụ: Một mạch dao động LC  với \(L = {10^{ - 4}}H\) và \(C = 25pF\). Tại thời điểm ban đầu dòng điện trong mạch có giá trị cực đại và bằng 40mA .Tìm biểu thức của i, q và u_C theo thời gian t.

Hướng dẫn giải

+ Ta có:

Tần số góc: \(\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{10}^{ - 4}}{{.25.10}^{ - 12}}} }} = {2.10^7}ra{\rm{d}}/s\)

+ Tại thời điểm ban đầu t = 0 thì \(i = {I_0} = 40mA = {4.10^{ - 2}}A \Rightarrow \varphi  = 0\)

Do đó, \(i = {4.10^{ - 2}}\cos \left( {{{2.10}^7}t} \right)\left( A \right)\)

\({Q_0} = \frac{{{I_0}}}{\omega } = \frac{{{{4.10}^{ - 2}}}}{{{{2.10}^7}}} = {2.10^{ - 9}}C\)

+ Điện tích q trễ pha \(\frac{\pi }{2}\) so với dòng điện i nên:

\(q = {2.10^{ - 9}}\cos \left( {{{2.10}^7}t - \frac{\pi }{2}} \right)\left( A \right)\)

+ Điện áp u cùng pha với điện tích q và \({U_0} = \frac{{{Q_0}}}{C} = \frac{{{{2.10}^{ - 9}}}}{{{{25.10}^{ - 12}}}} = 80V\)

\( \Rightarrow u = 80\cos \left( {{{2.10}^7}t - \frac{\pi }{2}} \right)\left( V \right)\)