Luyện tập 3 trang 153 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng trong một ngũ giác, tổng các đường chéo lớn hơn chu vi.

Lời giải chi tiết

Xét ngũ giác ABCDE cần chứng minh rằng:

\(AC + A{\rm{D}} + BD + BE + CE > AB + BC + CD + DE + EA\)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE và AD, AC.

P, Q lần lượt là giao điểm của BD với AC, CE.

K là giao điểm của CE và AD.

\(\Delta NAB\) có \(AN + BN > AB\) (BĐT tam giác)

Tương tự \(\Delta PBC\) có \(BP + CP > BC,\,\,\Delta QCD\) có \(CQ + DQ > CD\)

\(\Delta KDE\) có \(DK + EK > DE,\,\,\Delta MAE\) có \(AM + EM > EA\)

Do đó \(AN + BN + BP + CP + CQ + DQ + DK + EK + AM + EM > AB + BC + CD + DE + EA\)

Mà

\(\eqalign{  & AC + AD + BD + BE + CE  \cr  &  > \left( {AN + CP} \right) + \left( {DK + AM} \right) + \left( {BP + DQ} \right) + \left( {EM + BN} \right) + \left( {CQ + EK} \right)  \cr  &  = AN + CP + DK + AM + BP + DQ + EM + BN + CQ + EK  \cr  &  = AN + BN + BP + CP + CQ + DQ + DK + EK + AM + EM \cr} \)

Vậy \(AC + A{\rm{D}} + BD + BE + CE > AB + BC + CD + DE + EA\)