Giải mục 2 trang 9, 10, 11 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Hoạt động 3

Phân tích tử và mẫu của phân thức \(\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} - 1}}\) thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng 

Phương pháp giải:

Thực hiện phân tích cả tử và mẫu của phân thức theo phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

Nhân tử chung là x + 1

Hoạt động 4

Chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} - 1}}\) cho các nhân tử chung, ta nhận được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn

Phương pháp giải:

Thực hiện rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}}\)

Luyện tập 3

Liệu phân thức nào đơn giản nhưng bằng phân thức \(\frac{{x - y}}{{{x^3} - {y^3}}}\) không nhỉ?

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất cơ bàn của phân thức

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{x - y}}{{{x^3} - {y^3}}} = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\)

Tranh luận

Thực hiện rút gọn một phân thức như hình bên . Hỏi bạn tròn làm đúng hay sai/ Vì sao?

Phương pháp giải:

Dựa vào cách rút gọn một phân thức

Lời giải chi tiết:

Bạn tròn làm thế là sai. Vì bạn bỏ hai số hạng giống nhau của cả tử và mẫu là 2x chứ không phải chia cho nhân tử chung của cả tử và mẫu.

Thử thách nhỏ

Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau: \(\frac{{{\rm{ - a}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ -  ax}}}}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{{3{\rm{x}}}}{{x - 1}}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc rút gọn phân thức 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{{\rm{ - a}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ -  ax}}}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - a\left( {{x^2} + x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - ax\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{\rm{ - ax}}}}{{x - 1}}\)

Để hai phân thức sau bằng nhau: \(\frac{{{\rm{ - a}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ -  ax}}}}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{{3{\rm{x}}}}{{x - 1}}\) khi và chỉ khi a = -3

Hoạt động 5

Cho hai phân thức: \(\frac{1}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}\)và \(\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}}}\). Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử

Phương pháp giải:

Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức theo phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{1}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} = \frac{1}{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}}} = \frac{1}{{3{\rm{x}}\left( {x - 2} \right)}}\)

Hoạt động 6

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bàng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. 

Phương pháp giải:

Thực hiện theo yêu cầu của đề bài

Lời giải chi tiết:

Mẫu thức chung: 6x(x+1)(x−2)

Hoạt động 7

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó

Phương pháp giải:

Lấy MTC chia cho mẫu của mỗi phân thức 

Lời giải chi tiết:

Nhân tử phụ của 2x² +2x là 3(x−2)

Nhân tử phụ của 3x² −6x là 2(x+1)

Hoạt động 8

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn

Phương pháp giải:

Thực hiện theo yêu cầu của đề bài

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{1}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} = \frac{1}{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3{\rm{x}}\left( {x - 2} \right)}}{{6{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\(\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}}} = \frac{1}{{3{\rm{x}}\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}{{6{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Luyện tập 4

Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} - 3}}\) và \(\frac{1}{{{x^3} - 1}}\)

Phương pháp giải:

- Phân tích mẫu của hai phân thức đã cho

- Tìm MTC

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ

Lời giải chi tiết:

Ta có:3x² −3=3(x²−1)=3(x−1)(x+1)

         x³ −1=(x−1)(x² + x + 1)

MTC= 3(x−1)(x+1)(x² + x + 1)

Nhân tử phụ của 3x² − 3 là x² + x + 1

Nhân tử phụ của x³ − 1 là 3(x+1)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có: 

\(\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} - 3}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\(\frac{1}{{{x^3} - 1}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

Tranh luận

Tròn: hai phân thức \(\frac{5}{{x - 1}}\) và \(\frac{x}{{1 - x}}\) có MTC là x – 1

Vuông: Không đúng, MTC là (x – 1)(1 – x)

Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí  hơn? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{5}{{x - 1}}\) với -1 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{x}{{1 - x}} = \frac{{ - x}}{{x - 1}}\)

Hai phân thức \(\frac{5}{{x - 1}}\) và \(\frac{x}{{1 - x}}\) có MTC là x – 1

Bạn Tròn chọn MTC hợp lí hơn.