Giải bài 6.12 trang 12 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{1}{{{x^3} - 8}}\) và \(\frac{3}{{4 - 2{\rm{x}}}}\)

b) \(\frac{x}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({x^3} - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)\)

\(4 - 2{\rm{x}} = 2\left( {2 - x} \right) =  - 2\left( {x - 2} \right)\)

Mẫu thức chung là: \( - 2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)\)

Nhân tử phụ của \({x^3} - 8\) là -2

Nhân tử phụ cuae 4 – 2x là \({x^2} + 2{\rm{x}} + 4\)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^3} - 8}} = \frac{{ - 2}}{{ - 2\left( {{x^3} - 8} \right)}}\\\frac{3}{{4 - 2{\rm{x}}}} = \frac{{3\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)}}{{\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)}} = \frac{{3\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)}}{{ - 2\left( {{x^3} - 8} \right)}}\end{array}\)

b) Ta có: \(\begin{array}{l}{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\{x^2} + 2{\rm{x}} + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array}\)

Mẫu thức chung là: \({\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\)

Nhân tử phụ của \(\frac{x}{{{x^2} - 1}}\) là: x + 1

Nhân tử phụ của \(\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\) là x – 1

Khi đó:

\(\frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}} = \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}\)