Giải mục 2 trang 53, 54, 55 SGK Toán 8 – Cánh diều

Hoạt động 2

Quan sát Hình 3 và cho biết:

a)      Đường thẳng \(d\) có song song với BC hay không?

b)     Bằng cách đếm số ô vuông, dự đoán xem các tỉ số \(\frac{{AM}}{{MB}},\frac{{AN}}{{NC}}\) có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Quan sát hình và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a)      Quan sát hình ta thấy \(d\parallel BC\).

b)     Ta thấy:

Độ dài AM là 2 lần cạnh của một ô vuông.

Độ dài MB là cạnh của một ô vuông.

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{1} = 2\)

Độ dài AN là 2 lần đường chéo của một ô vuông.

Độ dài NC là độ dài đường chéo của một ô vuông.

\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{2}{1} = 2\)

Vậy \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).

Luyện tập 1

Trong Hình 4, chứng tỏ rằng nếu \(MN\parallel BC\) thì \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào định lý Thales để chứng minh hai tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC với \(MN\parallel BC\), ta có \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\) (định lý Thales).

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh AB. Đường thẳng qua M song song với BC cắt cạnh AC tại N. Chứng minh N là trung điểm của cạnh AC.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Thales để chứng minh \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC với \(MN\parallel BC\), ta có \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) (định lý Thales)

Mà M là trung điểm AB nên \(\frac{{AM}}{{MB}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} = 1\)

Vậy N là trung điểm AB.

Hoạt động 3

Trong Hình 7, cho AM = 1, MB = 2, AN = 1,5, NC = 3.

a)      So sánh các tỉ số \(\frac{{AM}}{{MB}};\,\,\frac{{AN}}{{NC}}\).

b)     Đường thẳng \(d\) (đi qua M, N) có song song với BC hay không?

Phương pháp giải:

a)      Dựa vào số liệu đã cho, tính và so sánh các tỉ số.

b)     Quan sát hình vẽ và cho biết đường thẳng \(d\) (đi qua M, N) có song song với BC hay không.

Lời giải chi tiết:

a)      \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{1,5}}{3} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).

b)     Quan sát hình ta thấy \(MN\parallel BC\).

Luyện tập 3

Cho tam giác ABC vuông tại A có CA = 4, CB = 5. Giả sử M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh CA, CB sao cho CM = 1, CN = 1,25. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Phương pháp giải:

-         Sử dụng định lý Thales đảo để chứng minh \(MN\parallel AB\).

-         Chứng minh \(MN \bot AC\)

-         Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh MN.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có

\(\begin{array}{l}\frac{{CM}}{{CA}} = \frac{1}{4}\\\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{1,25}}{5} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{{CN}}{{CB}}\end{array}\)

\( \Rightarrow MN\parallel AB\) (Định lý Thales đảo)

Mà \(AB \bot AC\) nên \(MN \bot AC\) hay tam giác MNC vuông tại M

Xét tam giác MNC vuông tại M có: \(MC = 1,\,\,NC = 1,25\).

Theo định lý Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}M{N^2} + M{C^2} = N{C^2}\\\,\,\,\,\,\,\,M{N^2} + {1^2} = 1,{25^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M{N^2} = 1,{25^2} - {1^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M{N^2} = 0,5625\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,MN = 0,75\end{array}\)

Vậy MN = 0,75.