Giải mục 2 trang 32, 33, 34 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trong hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng \(\overrightarrow v \) và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?

Lời giải chi tiết:

Vật thể sẽ di chuyển trên đường thẳng \({\Delta _2}\)

HĐ4

Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi  hành từ \(A\left( {2;1} \right)\) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc \(\overrightarrow v \left( {3;4} \right)\).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t>0) tính từ lúc khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là \(\left( {2 + 3t;1 + 4t} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Vật thể đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và  đi theo hướng  vectơ \(\overrightarrow v \left( {3;4} \right)\).

b) Sau thời gian t thì vectơ vận tốc của vật thể là: \(t\overrightarrow v  = \left( {3t;4t} \right)\).

Vậy tọa độ của vật thể sau thời gian t là: \(\overrightarrow {OA}  + t\overrightarrow v  = \left( {2 + 3t;1 + 4t} \right)\).

Luyện tập 3

Hãy chỉ ra một vectơ chí phương của đường thẳng \(\Delta :2x - y + 1 = 0\).

Phương pháp giải:

Tìm vectơ pháp tuyến, từ đó suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {2; - 1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2} \right)\).

Luyện tập 4

Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) và song song với đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\).

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến cùng phương

Lời giải chi tiết:

Vì hai đường thẳng \(\Delta \) và d song song với nhau nên ta có thể chọn \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Mặt khác, \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\)nên phương trình \(\Delta \) là:

\(3\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 11 = 0\).

Luyện tập 5

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) cho trước.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {AB} \) là vevto chỉ phương của đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\)

Do đó, AB có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t\end{array} \right.\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {{y_2} - {y_1}; - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right)\), suy ra AB có phương trình tổng quát là:

\(\left( {{y_2} - {y_1}} \right)\left( {x - {x_1}} \right) - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).

Vận dụng

Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1 686 – 1 736) được xác định bởi hai mốc sau: Nước đóng băng ở 0°C, 32°F: Nước sôi ở 100°C, 212°F. Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). Hỏi 0°F, 100°F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng AB, từ đó tìm được mối liên hệ giữa hoành độ (độ C) với tung độ (độ F).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {100;180} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {{9_1}; - 5} \right)\).

Mặt khác AB đi qua điểm \(A\left( {0;32} \right)\) nên phương trình của AB là \(9x - 5y + 160 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5y - 160}}{9}\).

Với \(y = 0{{\rm{ }}^o}F\) ta có: \(x = \frac{{5.0 - 160}}{9} = \left( {\frac{{ - 160}}{9}} \right){{\rm{ }}^o}C\)

Với \(y = 100{{\rm{ }}^o}F\) ta có: \(x = \frac{{5.100 - 160}}{9} = \left( {\frac{{340}}{9}} \right){{\rm{ }}^o}C\)

Vậy \(0{{\rm{ }}^o}F\),\(100{{\rm{ }}^o}F\)tương ứng xấp xỉ \( - 18{{\rm{ }}^o}C,38{{\rm{ }}^o}C\).