Giải mục 2 trang 18, 19, 20, 21, 22 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

HĐ2

Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

a) \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right)\)                                b) \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)\)

Phương pháp giải:

Thực hiện theo quy tắc nhân đa thức nhiều biến với đa thức nhiều biến.

Lời giải chi tiết:

a) \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = a.a + ab + ab + b.b = {a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}\)     

b)  \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = a.a - a.b - a.b - b.\left( { - b} \right) = {a^2} - 2{\rm{a}}b + {b^2}\)                     

Luyện tập vận dụng 2

Tính:

\(a){\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)                                                 b) \({\left( {2{\rm{x}} + y} \right)^2}\)

\(c){\left( {3 - x} \right)^2}\)                                                  \(d){\left( {x - 4y} \right)^2}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để tính.

Lời giải chi tiết:

\(a){\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {x^2} + x + \dfrac{1}{4}\)

b) \({\left( {2{\rm{x}} + y} \right)^2} = {\left( {2{\rm{x}}} \right)^2} + 2.2{\rm{x}}.y + {y^2} = 4{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}}y + {y^2}\)

\(c){\left( {3 - x} \right)^2} = {3^2} - 2.3.x + {x^2} = 9 - 6{\rm{x}} + {x^2}\)

\(d){\left( {x - 4y} \right)^2} = {x^2} - 2.x.4y + {\left( {4y} \right)^2} = {x^2} - 8{\rm{x}}y + 16{y^2}\)

Luyện tập vận dụng 3

Với mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \({y^2} + y + \dfrac{1}{4}\)                          b) \({y^2} + 49 - 14y\)

Phương pháp giải:

- Xác định các biểu thức A, B

- Áp dụng theo công thức: \(\begin{array}{l}{A^2} + 2{\rm{A}}B + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2}\\{A^2} - 2{\rm{A}}B + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a) \({y^2} + y + \dfrac{1}{4} = {y^2} - 2.y.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)

b) \({y^2} + 49 - 14y = {y^2} - 14y + 49 = {y^2} - 2.y.7 + {7^2} = {\left( {y - 7} \right)^2}\)

Luyện tập vận dụng 4

Tính nhanh: \({49^2}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng: \({49^2} = {\left( {50 - 1} \right)^2}\) và công thức hằng đẳng thức bình phương của một hiệu để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({49^2} = {\left( {50 - 1} \right)^2} = {50^2} - 2.50.1 + {1^2} = 2500 - 100 - 1 = 2401\)

Vậy: \({49^2} = 2401\)

HĐ3

Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính: \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc đa thức nhân đa thức để tính.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = a.a + a.b - ba - b.b = {a^2} - {b^2}\)

Luyện tập vận dụng 5

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) \(9{{\rm{x}}^2} - 16\)                                    b) \(25 - 16{y^2}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức hiệu hai bình phương để viết biểu thức dưới dạng tích.

Lời giải chi tiết:

a) \(9{{\rm{x}}^2} - 16 = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^2} - {4^2} = \left( {3{\rm{x}} - 4} \right)\left( {3{\rm{x}} + 4} \right)\) 

b)  \(25 - 16{y^2} = {5^2} - {\left( {4y} \right)^2} = \left( {5 - 4y} \right)\left( {5 + 4y} \right)\)

Luyện tập vận dụng 6

Tính:

\(a)\left( {a - 3b} \right)\left( {a + 3b} \right)\)

\(b)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)\left( {2{\rm{x}} - 5} \right)\)

\(c)\left( {4y - 1} \right)\left( {4y + 1} \right)\)

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để viết biểu thức dưới dạng tích.

Lời giải chi tiết:

\(a)\left( {a - 3b} \right)\left( {a + 3b} \right) = {a^2} - {\left( {3b} \right)^2} = {a^2} - 9{b^2}\)

\(b)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)\left( {2{\rm{x}} - 5} \right) = {\left( {2{\rm{x}}} \right)^2} - {5^2} = 4{{\rm{x}}^2} - 25\)

\(c)\left( {4y - 1} \right)\left( {4y + 1} \right) = {\left( {4y} \right)^2} - {1^2} = 16{y^2} - 1\)

Luyện tập vận dụng 7

Tính nhanh: \(48.52\).

Phương pháp giải:

Áp dụng: \(48.52 = \left( {50 - 2} \right)\left( {50 + 2} \right)\) và hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(48.52 = \left( {50 - 2} \right)\left( {50 + 2} \right) = {50^2} - {2^2} = 2500 - 4 = 2406\).

HĐ4

Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

\(a)\left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2}\)                                         \(b)\left( {a - b} \right){\left( {a - b} \right)^2}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc đa thức nhân đa thức để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2}\\ = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}} \right)\\ = {a^3} + 2{{\rm{a}}^2}b + a{b^2} + b{a^2} + 2{\rm{a}}{b^2} + {b^3}\\ = {a^3} + 3{{\rm{a}}^2}b + 3{\rm{a}}{b^3} + {b^3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\left( {a - b} \right){\left( {a - b} \right)^2}\\ = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} - 2{\rm{a}}b + {b^2}} \right)\\ = {a^3} - 2{{\rm{a}}^2}b + a{b^2} - b{a^2} + 2{\rm{a}}{b^2} - {b^3}\\ = {a^3} - 3{{\rm{a}}^2}b + 3{\rm{a}}{b^3} - {b^3}\end{array}\)

Luyện tập vận dụng 8

Tính:

\(a){\left( {3 + x} \right)^3}\)

\(b){\left( {a + 2b} \right)^3}\)

\(c){\left( {2{\rm{x}} - y} \right)^3}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lập phương của một tổng, một hiệu để tính.

Lời giải chi tiết:

\(a){\left( {3 + x} \right)^3} = {3^3} + {3.3^2}x + 3.3.{x^2} + {x^3} = 27 + 27{\rm{x}} + 9{{\rm{x}}^2} + {x^3}\)

\(b){\left( {a + 2b} \right)^3} = {a^3} + 3{{\rm{a}}^2}.\left( {2b} \right) + 3{\rm{a}}.{\left( {2b} \right)^2} + {\left( {2b} \right)^3} = {a^3} + 6{{\rm{a}}^2}b + 12{\rm{a}}{b^2} + 8{b^3}\)

\(c){\left( {2{\rm{x}} - y} \right)^3} = {\left( {2{\rm{x}}} \right)^3} - 3.{\left( {2{\rm{x}}} \right)^2}y + 3.2{\rm{x}}.{y^2} + {y^3} = 8{{\rm{x}}^3} - 12{{\rm{x}}^2}y + 6{\rm{x}}{y^2} + {y^3}\)

Luyện tập vận dụng 9

Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu:

\(8{{\rm{x}}^3} - 36{{\rm{x}}^2}y + 54{\rm{x}}{y^2} - 27{y^3}\)

Phương pháp giải:

Xác định A, B trong biểu thức đưa ra rồi áp dụng công thức: \({A^3} - 3{{\rm{A}}^2}B + 3{\rm{A}}{B^3} + {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\)

Lời giải chi tiết:

\(8{{\rm{x}}^3} - 36{{\rm{x}}^2}y + 54{\rm{x}}{y^2} - 27{y^3} = {\left( {2{\rm{x}}} \right)^3} - 3.\left( {2{\rm{x}}} \right).3y + 3.2{\rm{x}}.{\left( {3y} \right)^2} - {\left( {3y} \right)^3} = {\left( {2{\rm{x}} - 3y} \right)^3}\)

Luyện tập vận dụng 10

Tính nhanh: \({101^3} - {3.101^2} + 3.101 - 1\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lập phương của một hiệu để tính.

Lời giải chi tiết:

\({101^3} - {3.101^2} + 3.101 - 1 = {101^3} - {3.101^2}.1 + {3.101.1^2} - {1^3} = {\left( {101 - 1} \right)^3} = {100^3}\)

HĐ5

Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

\(a)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)

\(b)\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thứcnhiều biến số để tính.

Lời giải chi tiết:

\(a)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} - {a^2}b + a{b^2} + b{a^2} - a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3}\)

\(b)\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + a{b^2} - b{a^3} - a{b^3} - {b^3} = {a^3} - {b^3}\)

Luyện tập vận dụng 11

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

\(a)27{{\rm{x}}^3} + 1\)                                                    \(b)64 - 8{y^3}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng, hiệu hai lập phương để viết dưới dạng tích.

Lời giải chi tiết:

\(a)27{{\rm{x}}^3} + 1 = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^3} + 1 = \left( {3{\rm{x}} + 1} \right).\left[ {{{\left( {3{\rm{x}}} \right)}^2} - 3{\rm{x}}.1 + {1^2}} \right] = \left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {9{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1} \right)\)

\(b)64 - 8{y^3} = {4^3} - {\left( {2y} \right)^3} = \left( {4 - 2y} \right)\left[ {{4^2} - 4.2y + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right] = \left( {4 - 2y} \right)\left( {16 - 8y + 4{y^2}} \right)\)