Giải đề thi học kì 1 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Gò Vấp

Câu 1:  (1,0 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số :

a)  \(y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| - 2}}\)                     

b) \(y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| - \sqrt 2 }}{{2{x^2} - 3x + 1}}\)                 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + 3\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right),\) biết rằng đồ thị \(\left( P \right)\) có đỉnh \(S\left( { - 2; - 1} \right).\) Tính \(2a - b?\)

Câu 3: (1,0 điểm) Cho phương trình \({m^2}x + 1 = x + 3{m^2} - 2m.\) Định \(m\) để phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4 + m = 0.\) Định \(m\) để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

b) Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m - 4 = 0.\) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 = 20.\)

Câu 5: (1,0 điểm) Giải các phương trình :

a) \(\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2}} \right| = x - 1\)                                 

b) \(6 - \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = x\)

Câu 6: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  - 2\sqrt {1 - 2y}  =  - 1\\\sqrt {1 - 2y}  + 2\sqrt {x - 1}  = 4\end{array} \right.\) 

Câu 7: (1,0 điểm) Cho \(\overrightarrow a  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c  = \left( { - 7;2} \right).\) Tìm vectơ \(\overrightarrow p \) sao cho : \(4\overrightarrow p  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c \)

Câu 8: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),\,B\left( {1;1} \right)\). Tìm tọa độ diểm \(E\) biết điểm \(E\) thuộc trục tung và ba điểm \(A,B,E\) thẳng hàng.

Câu 9 : (1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5;AC = 6;BC = 7.\) Tính : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn

Câu 1 (VD): Tìm tập xác định của các hàm số :

a)  \(y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| - 2}}\)                     

b) \(y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| - \sqrt 2 }}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) 

Phương pháp:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).

Biểu thức \(\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).

Cách giải:

a) \(y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| - 2}}\)

ĐK:\(\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\3 + x \ge 0\\\left| x \right| - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge  - 3\\x \ne  \pm 2\end{array} \right.\)

TXĐ: \(D = \left[ { - 3;3} \right]\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\)

b) \(y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| - \sqrt 2 }}{{2{x^2} - 3x + 1}}\)

ĐK: \(2{x^2} - 3x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2};1} \right\}\)  

Câu 2 (VD): Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + 3\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right),\) biết rằng đồ thị \(\left( P \right)\) có đỉnh \(S\left( { - 2; - 1} \right).\) Tính \(2a - b?\)

Phương pháp:

Đỉnh parabol \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\), lập hệ phương trình ẩn \(a,b\).

Cách giải:

Ta có: \( - 2 = \dfrac{{ - b}}{{2a}} \Leftrightarrow  - 4a + b = 0\) (1)

Điểm \(S\left( { - 2; - 1} \right) \in P\) \( \Rightarrow 4a - 2b + 3 \Rightarrow 2a - b =  - 2\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = 0\\2a - b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(2a - b = 2 - 4 =  - 2\).

Câu 3 (VD ): Cho phương trình \({m^2}x + 1 = x + 3{m^2} - 2m.\) Định \(m\) để phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)

Phương pháp:

Phương trình \(ax + b = 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) \( \Leftrightarrow a = b = 0\).

Cách giải:

\({m^2}x + 1 = x + 3{m^2} - 2m\) \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\)

Phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\3{m^2} - 2m - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy \(m = 1\).

Câu 4 (VD ):

a) Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4 + m = 0.\) Định \(m\) để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

b) Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m - 4 = 0.\) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 = 20.\)

Phương pháp:

a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right.\).

b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm.

Sử dụng Vi – et thay vào đẳng thức bài cho, giải phương trình ẩn \(m\) và kết luận.

Cách giải:

a) Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4 + m = 0.\) Định \(m\) để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\6m + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m =  - \dfrac{1}{6}\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

b) Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m - 4 = 0.\) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 = 20.\)

Để phương trình có \(2\) nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta  = 20m - 16 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ge \dfrac{4}{5}\end{array} \right.\)

Theo định lý Vi-et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 1}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{{m - 1}}\end{array} \right.\)

Ta có : \(x_1^2 + x_2^2 = 20\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 20\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{m^2} + 10m - 8}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = 20\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( N \right)\\m = \dfrac{7}{9}\left( L \right)\end{array} \right.\)

Câu 5 (VD ): Giải các phương trình :

a) \(\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2}} \right| = x - 1\)                                 

b) \(6 - \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = x\)

Phương pháp:

a) \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) =  \pm g\left( x \right)\end{array} \right.\)

b) \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Cách giải:

a) \(\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2}} \right| = x - 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2} = x - 1\\\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2} =  - x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 = 0\\{x^2} - x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;4} \right\}\).

b) \(6 - \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = x\) \( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = 6 - x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - x \ge 0\\3{x^2} - x + 6 = {\left( {6 - x} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\3{x^2} - x + 6 = {x^2} - 12x + 36\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\2{x^2} + 11x - 30 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {TM} \right)\\x =  - \dfrac{{15}}{2}\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {2; - \dfrac{{15}}{2}} \right\}\).

Câu 6 (VD): Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  - 2\sqrt {1 - 2y}  =  - 1\\\sqrt {1 - 2y}  + 2\sqrt {x - 1}  = 4\end{array} \right.\) 

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \\v = \sqrt {1 - 2y} \end{array} \right.\left( {u,v \ne 0} \right)\)

Cách giải:

Đặt : \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \\v = \sqrt {1 - 2y} \end{array} \right.\left( {u,v \ne 0} \right)\)

Hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 2v =  - 1\\2u + v = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = 1\\\sqrt {1 - 2y}  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - \dfrac{3}{2}} \right)\).

Câu 7 (TH): Cho \(\overrightarrow a  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c  = \left( { - 7;2} \right).\) Tìm vectơ \(\overrightarrow p \) sao cho : \(4\overrightarrow p  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c \)

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(k\overrightarrow a  \pm l\overrightarrow b  = \left( {k{x_1} \pm l{x_2};k{y_1} \pm l{y_2}} \right)\).

Cách giải:

\(4\overrightarrow p  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow p  = \dfrac{1}{4}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c } \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {2.2 + 3 - 3.\left( { - 7} \right);2.1 + 4 - 3.2} \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {28;0} \right) = \left( {7;0} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow p  = \left( {7;0} \right)\).

Câu 8 (VD ): Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),\,B\left( {1;1} \right)\). Tìm tọa độ diểm \(E\) biết điểm \(E\) thuộc trục tung và ba điểm \(A,B,E\) thẳng hàng.

Phương pháp:

Gọi \(E\left( {0;y} \right) \in Oy\).

\(A,B,E\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương \(\overrightarrow {AE} .\)

Cách giải:

Ta có: \(E \in Oy \Rightarrow E\left( {0;y} \right)\) 

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2} \right)\) ; \(\overrightarrow {AE}  = \left( { - 3;y + 1} \right)\)

Ba điểm \(A,B,E\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương \(\overrightarrow {AE} .\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{2}\) \( \Leftrightarrow  - 2\left( {y + 1} \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow y = 2\)

Vậy \(E\left( {0;2} \right).\)

Câu 9 (VD ): Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5;AC = 6;BC = 7.\) Tính : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

Phương pháp:

Nhận xét \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) và bình phương hai vế.

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {CB} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + A{C^2} = C{B^2}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - C{B^2}}}{2}\) \( = \dfrac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{2} = 6\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 6\).