Đề kiểm tra 45 phút chương 3 phần Hình học 8 - Đề số 1

Đề bài

Câu 1:

Hãy chọn kết quả đúng. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có độ dài \(AB = 5cm\), đường cao \(AH = 4cm\) (h.57).

a) Độ dài của \(BH\) là:

A. \(3,5\)

B. \(4\)

C. \(3\)

D. \(3,2\)

b) Độ dài của \(HC\) là:

A. \(\dfrac{8}{3}\)

B. \(\dfrac{{20}}{3}\)

C. \(\dfrac{{16}}{3}\)

D. \(\dfrac{{15}}{4}\)

c) Độ dài của \(AC\) là:

A. \(\dfrac{{20}}{3}\)

B. \(\dfrac{{25}}{3}\)

C. \(\dfrac{{25}}{{12}}\)

D. \(4\sqrt {\dfrac{5}{6}} \)

Câu 2. (7 điểm) Cho hình thang vuông \(ABCD\) \(\left( {AB//CD} \right)\) có \(\widehat A = {90^0}\), cạnh \(BC\) vuông góc với đường chéo \(BD\), đường phân giác của góc \(BDC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(I\). Cho biết độ dài \(AB = 2,5cm\) và góc \(\widehat {ABD} = {60^0}\) (h.58)

a) Chứng minh rằng \(\Delta IDC\) là tam giác cân.

b) Tính độ dài của các cạnh \(BC,AD,DC\) và độ dài của phân giác \(DI\).

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng để tính độ dài các cạnh.

Cách giải:

a) Tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) nên \(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9\) \( \Rightarrow BH = 3\).

Chọn C.

b) Xét tam giác \(AHB\) và \(CHA\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^0}\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {CBA}\))

\( \Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta CHA\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}}\) \( \Rightarrow HC = \dfrac{{H{A^2}}}{{HB}} = \dfrac{{{4^2}}}{3} = \dfrac{{16}}{3}\)

Chọn C.

c) Ta có: \(BC = BH + HC = 3 + \dfrac{{16}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\)

Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác vuông \(ABC\) có:

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\) \( = {\left( {\dfrac{{25}}{3}} \right)^2} - {5^2} = \dfrac{{400}}{9}\) \( \Rightarrow AC = \dfrac{{20}}{3}\)

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp:

a) Chứng minh tam giác \(IDC\) có hai góc \(\widehat {IDC} = \widehat {ICD}\) và suy ra \(IC = ID\).

b) Sử dụng các tam giác đồng dạng và định lí Pi – ta – go để tính toán.

Chú ý kết quả: Tam giác vuông có một góc bằng \({30^0}\) thì cạnh đối cửa góc bằng nửa cạnh huyền.

Cách giải:

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(\widehat {ABD} + \widehat {ADB} = {90^0}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0} - \widehat {ABD}\) \( = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {ADC} - \widehat {ADB}\) \( = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {IDB} = \widehat {IDC} = \dfrac{{\widehat {BDC}}}{2}\) \( = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\) (1)

Tam giác \(BDC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat {BDC} + \widehat {BCD} = {90^0}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {BCD} = {90^0} - \widehat {BDC}\) \( = {90^0} - {60^0} = {30^0}\) hay \(\widehat {ICD} = {30^0}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IDC} = \widehat {ICD}\) nên tam giác \(ICD\) cân tại \(I\)

\( \Rightarrow ID = IC\) (đpcm).

b) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ADB} = {30^0}\) nên \(AB = \dfrac{1}{2}BD\)

\( \Rightarrow BD = 2AB = 2.2,5 = 5\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

\(A{D^2} = B{D^2} - A{B^2}\) \( = {5^2} - 2,{5^2} = \dfrac{{75}}{4}\) \( \Rightarrow AD = \sqrt {\dfrac{{75}}{4}}  \approx 4,33\left( {cm} \right)\)

Tam giác \(BDC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat {BCD} = {30^0}\) nên \(BD = \dfrac{1}{2}DC\)

\( \Rightarrow DC = 2BD = 2.5 = 10\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

\(B{C^2} = C{D^2} - B{D^2} = {10^2} - {5^2} = 75\) \( \Rightarrow BC = \sqrt {75}  \approx 8,66\).

Ta có: \(\dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow IC = 2IB\)

Mà \(IC + IB = BC = 8,66\) \( \Rightarrow 2IB + IB = 8,66\) \( \Rightarrow 3IB = 8,66 \Rightarrow IB \approx 2,89\)

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

\(D{I^2} = D{B^2} + B{I^2} = {5^2} + 2,{89^2}\) \( \Rightarrow DI = \sqrt {{5^2} + 2,{{89}^2}}  \approx 5,78\left( {cm} \right)\).