Giải câu hỏi trang 21, 22, 23 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Xét bài toán ở tình huống mở đầu. Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính.

Bài toán mở đầu: Một vật có khối lượng 124 g và thể tích \(15\,c{m^3}\) là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng \(1\,c{m^3}\) đồng nặng 8,9 g và \(1\,c{m^3}\) kẽm nặng 7 g.

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Biểu thị khối lượng của vật qua x và y.

Phương pháp giải:

Vật có khối lượng là 124g và được làm bởi kẽm và đồng nên tổng khối lượng đồng và kẽm chính là khối lượng của vật nên ta có phương trình: \(x + y = 124\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình biểu thị khối lượng của vật qua x và y là \(x + y = 124.\)

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Biểu thị thể tích của vật qua x và y.

Phương pháp giải:

\(1\,c{m^3}\) đồng nặng 8,9 g nên (x) g đồng sẽ có thể tích là \(\frac{x}{{8,9}}.1 = \frac{x}{{8,9}}\left( {c{m^3}} \right)\)

\(1\,c{m^3}\) kẽm nặng 7 g nên (y) g kẽm sẽ có thể tích là \(\frac{x}{7}.1 = \frac{x}{7}\left( {c{m^3}} \right)\)

Vật được làm bởi kẽm và đồng nên thể tích của vật chính là thể tích của đồng và kẽm nên ta có phương trình: \(\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\left( {c{m^3}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích của vật là \(15\,c{m^3}\) nên ta có phương trình \(\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\left( {c{m^3}} \right).\)

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn x,y nhận được ở hoạt động 1 và hoạt động 2. Từ đó trả lời câu hỏi ở Tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Qua hoạt động 1 và hoạt động 2, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\end{array} \right.\)  giải hệ thông qua phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số ta sẽ tìm được số gam đồng (x) và số gam kẽm (y) của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Qua hoạt động 1 và hoạt động 2, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\end{array} \right.\) 

Từ phương trình đầu ta có \(x = 124 - y\) thay vào phương trình thứ hai ta được \(\frac{{124 - y}}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\) nên \(\frac{{19}}{{623}}y + \frac{{1240}}{{89}} = 15\) hay \(y = 35.\)

Với \(y = 35\) thì ta có \(x = 124 - 35 = 89.\)

Vậy vật đó có 89 g đồng và 35 gam kẽm.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 22 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài 170km. Sau khi xe khách xuất phát từ 1 giờ 40 phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó 40 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km.

Hướng dẫn. Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xe tải và \(y\left( {km/h} \right)\) là vận tốc xe khách \(x,y > 0.\) Chú ý rằng hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau khi tổng quãng đường hai xe đã đi bằng 170 km.

Phương pháp giải:

Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xe tải và \(y\left( {km/h} \right)\) là vận tốc xe khách \(x,y > 0.\)

Cần nhớ công thức Quãng đường = vận tốc . thời gian

Ở bài toán này ta biết thời gian xe khách đi 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút để đến đoạn gặp nhau. Xe tải đi 40 phút thì gặp xe khách.

Hai xe đi ngược chiều nên tổng quãng đường hai xe đi được chính là quãng đường từ HCM đến Cần Thơ.

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km tức là tốc độ của xe khách lớn hơn xe tải 15km/h.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xe tải và \(y\left( {km/h} \right)\) là vận tốc xe khách \(x,y > 0.\)

Thời gian di chuyển của xe khách từ HCM đến điểm gặp nhau là 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút \( = \frac{8}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe khách đi được là \(\frac{8}{3}.y\left( {km} \right).\)

Thời gian di chuyển của xe tải từ Cần Thơ đến điểm gặp nhau là 40 phút \( = \frac{2}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}x\left( {km} \right).\)

Vì hai xe di chuyển ngược chiều nên tổng quãng đường hai xe đi được chính là khoảng cách từ HCM đến Cần Thơ nên ta có phương trình: \(\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\left( {km} \right).\)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có phương trình \(y - x = 15\)

Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\\y - x = 15\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 15 + x\) thế vào phương trình đầu ta được \(\frac{8}{3}\left( {15 + x} \right) + \frac{2}{3}x = 170\) suy ra \(\frac{{10}}{3}x + 40 = 170\) nên \(x = 39\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 39\) ta có \(y = 15 + 39 = 54\left( {t/m} \right).\)

Vậy vận tốc của xe tải là 39 km/h và vận tốc của xe khách là 54 km/h.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Phương pháp giải:

Cần quan tâm các các dữ liệu về các đại lượng sau (thời gian, năng suất vòi nước (lượng nước chảy được trong mỗi giờ), số phần thể tích bể nước thay đổi theo từng dữ kiện.

Tính năng suất trong một giờ mỗi vòi chảy được mấy phần của bể nước.

Tính năng suất trong một giờ cả hai vòi cùng chảy được bao nhiêu phần của bể nước.

Chú ý: Năng suất của vòi nước = 1 : Thời gian chảy

Lời giải chi tiết:

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là \(x;y\) giờ \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) (bể).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}.\left( 1 \right)\)

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ) thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6}.\frac{1}{x} = \frac{1}{{6x}}\) (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút \( = \frac{1}{5}\) giờ) thì vòi thứ hai chảy được  \(\frac{1}{5}.\frac{1}{y} = \frac{1}{{5y}}\) (bể).

Thì hai vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước.

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{5}\) ta được \(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\), từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) - \left( {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5x}}} \right) = \frac{3}{{20}} - \frac{2}{{15}}\) suy ra \(\frac{1}{{30x}} = \frac{1}{{60}}\) nên \(x = 2\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (1) ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) nên \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.