Giải bài tập 7 trang 41 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 21m và rộng 70m (Hình 33)

Lời giải chi tiết

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái

Đồ thị hàm số biểu thị cho cửa trên hệ tọa độ có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\)

Đồ thị hàm số này đi qua điểm (0;0) và có đỉnh là (35;21) nên:

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = c\\ - \frac{b}{{2a}} = 35\\ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = c\\ - \frac{b}{{2a}} = 35\\ - \frac{{{b^2}}}{{4a}} = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = c\\b = \frac{6}{5}\\a =  - \frac{3}{{175}}\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x\)

Diện tích kính cần lắp là: \(\int\limits_0^{70} {\left( { - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{{175}} + \frac{{3{x^2}}}{5}} \right)} \right|_0^{70} = 980{m^2}\)