Giải bài tập 5.29 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T₁), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T₂).

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của (T₁) và (T₂) lần lượt là R₁ và R₂. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng \(\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1}\) và có bán kính bằng \(\frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\). Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T₃) đối với mỗi đường tròn (T₁) và (T₂). Vẽ ba đường tròn đó nếu R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm.

Lời giải chi tiết

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) là hai đường tròn đồng tâm, (T₁) chứa (T₂).

b) Gọi tâm của (T₁) là O, tâm của (T₃) là O’

Ta có: \({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_1}\); \({\rm{OO'}} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} < {{\rm{R}}_1} < {{\rm{R}}_1} + {{\rm{R}}_3}\)

Suy ra: \({{\rm{R}}_1} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} + \frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} > \frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} + \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\) hay \({{\rm{R}}_1} > {\rm{OO'}} + {{\rm{R}}_3}\)hay \({\rm{OO'}} < {{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}\)

Vậy (T₁) đựng (T₃).

Ta có: \({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\); \({\rm{OO'}} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} < {{\rm{R}}_1} < {{\rm{R}}_1} + {{\rm{R}}_3}\)

Suy ra: \({{\rm{R}}_2} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2} + \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2} < \frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} + \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\) hay \({{\rm{R}}_2} < {\rm{OO'}} + {{\rm{R}}_3}\) hay \({\rm{OO'}} > {{\rm{R}}_2} - {{\rm{R}}_3}\)

Do đó: \({{\rm{R}}_2} - {{\rm{R}}_3} < {\rm{OO'}} < {{\rm{R}}_2} + {{\rm{R}}_3}\)

Vậy (T₂) và (T₃) cắt nhau.

+ Với R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm, ta có hình vẽ sau: