Giải bài 9.64 trang 68 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC với \(AB > AC\). Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho \(AC = AD\). Qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AB tại F. Chứng minh rằng:

a) \(A{D^2} = AF.AB\)

b) $\Delta ACF\backsim \Delta ABC$

(Đề bài điểm D nằm trên BC không chính xác nên Loigiaihay sửa lại D thuộc AB.)

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC có: DE//BC nên $\Delta ADE\backsim \Delta ABC,$ do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) hay \(AD = \frac{{AB.AE}}{{AC}}\) (1)

Tam giác ADC có: FE//DC nên $\Delta AFE\backsim \Delta ADC,$ do đó \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) hay \(AD = \frac{{AF.AC}}{{AE}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(A{D^2} = \frac{{AB.AE}}{{AC}}.\frac{{AF.AC}}{{AE}} = AB.AF\)

b) Ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (do \(AC = AD\) nên \(AE = AF\))

Xét tam giác ACF và tam giác ABC có:

Góc A chung, \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\)

Do đó, $\Delta ACF\backsim \Delta ABC$ (c – g – c)