Giải bài 9.22 trang 56 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q lần lượt nằm trên các tia đối của tia AB và AC sao cho \(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\). Chứng minh rằng:

a) \(AP.AB = AQ.AC\)

b) $\Delta APC\backsim \Delta AQB$

Lời giải chi tiết

a) Tam giác APQ và tam giác ACB có:

\(\widehat {PAQ} = \widehat {BAC}\) (hai góc đối đỉnh), \(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\) (gt)

Do đó, $\Delta APQ\backsim \Delta ACB\left( g-g \right)$ nên \(\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\)

Suy ra: \(AP.AB = AQ.AC\)

b) Vì \(\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\) nên \(\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}\)

Tam giác APC và tam giác AQB có:

\(\widehat {PAC} = \widehat {BAQ}\) (hai góc đối đỉnh), \(\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (cmt)

Do đó, $\Delta APC\backsim \Delta AQB\left( c-g-c \right)$