Giải bài 6.24 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

b) \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0\) có ∆ = \({(m + 1)^2} + 4( - 2m + 1) = {m^2} - 6m + 5\)

Vì a = -1 < 0 nên \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi ∆ ≤ 0

Ta có: ∆ ≤ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 5\)

Vậy với \(m \in \left[ {1;5} \right]\) thì \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

b) Tam thức bậc hai \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0\) có ∆ = \({(2m + 1)^2} - 4(m + 2) = 4{m^2} - 7\)

Vì a = 1 > 0 nên \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi ∆ < 0

Ta có: ∆ < 0 \( \Leftrightarrow 4{m^2} - 7 < 0 \Leftrightarrow  - \frac{{\sqrt 7 }}{2} < m < \frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Vậy với \(m \in \left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{2};\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)\) thì \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)