Bài 6.1, 6.2, 6.3 phần bài tập bổ sung trang 111 SBT toán 7 tập 1

Bài 6.1

Cho hình bs 8 (các đường thẳng \(Er, Dp\) và \(Fq\) song song với nhau). Khi đó, hai đường thẳng \(DE\) và \(DF\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau.

Giải chi tiết:

Kẻ thêm \(Dp’ \) là tia đối của tia \(Dp.\)

Khi đó \(Er\) song song với \(pDp’\) nên \(\widehat {EDp'} = \widehat {{E_1}} = {39^o}\) (hai góc đồng vị).

\(pDp’\) song song với \(Fq\) nên ta có:

\(\widehat {FDp'} + \widehat {{F_1}} = {180^o}\) (hai góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow \widehat {FDp'} = {180^o} - \widehat {{F_1}}\)

                 \(= {180^o} - {129^o} = {51^o}\)

\(\Rightarrow \widehat {EDF} = \widehat {EDp'} + \widehat {FDp'} \)\(\,= {39^o} + {51^o} = {90^o}\)

Vậy hai đường thẳng \(DE\) và \(DF\) vuông góc với nhau. 

Bài 6.2

Cho đường thẳng \(e\) cắt hai đường thẳng song song với nhau là \(nt\) và \(mu.\) Biết rằng \(Hw\) là tia phân giác của góc \(mHG\) và \(Gv\) là tia phân giác của góc \(nGH\) (hình bs 9)

Hai đường thẳng \(Gv\) và \(Hw\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Giải chi tiết:

Vẽ tia \(Gx\) là tia phân giác của góc \(HGt.\)

Vì \(mu//nt\) nên \(\widehat {mHG} = \widehat {HGt}\) (hai góc so le trong).

Hơn nữa \(Hw\) và \(Gx\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {mHG};\,\widehat {HGt}\) nên suy ra \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{G_1}} = \dfrac{{\widehat {mHG}}}{2} = \dfrac{{\widehat {HGt}}}{2}\)

Mà \(\widehat {{H_1}} \) và \( \widehat {{G_1}}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên \(Hw\) song song với \(Gx.\)

\(\widehat {nGH}\) và \(\widehat {HGt}\) là hai góc kề bù và \(Gv,\; Gx\) lần lượt là tia phân giác của mỗi góc trên nên ta có:

\(\widehat {{G_3}} + \widehat {{G_1}} = \dfrac{{\widehat {nGH}}}{2} + \dfrac{{\widehat {HGt}}}{2} \)\(\,= \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {nGH} + \widehat {HGt}} \right) = \dfrac{1}{2}{.180^o} = {90^o}\)

Do đó \(Gv\bot \,Gx\).

Mà \(Gx//Hw\) nên \(Gv\bot\, Hw\). 

Bài 6.3

Cho trước bốn đường thẳng phân biệt \(m, n, p, q.\)

a) Biết \(m\) song song với \(n\) thêm vào đó \(p\) vuông góc với \(m\) còn \(q\) vuông góc với \(n\). Khi đó hai đường thẳng \(p\) và \(q\) có song song với nhau không?

b) Biết \(m\) vuông góc với \(n\) thêm vào đó \(n\) vuông góc với \(p\) còn \(p\) vuông góc với \(q.\) Khi đó hai đường thẳng \(m\) và \(q\) có vuông góc với nhau không?

c) Biết \(m\) vuông góc với \(n, p\) song song với \(m\) và \(q\) song song với \(n.\) Khi đó hai đường thẳng \(p\) và \(q\) vuông góc với nhau hay song song với nhau.

d) Biết \(m\) vuông góc với \(n, p\) vuông góc với \(m\) và \(q\) vuông góc với \(n.\) Khi đo hai đường thẳng \(p\) và \(q\) vuông góc với nhau hay song song với nhau? 

Phương pháp giải:

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

- Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
m//n\\
p \bot m
\end{array} \right\} \Rightarrow p \bot n\\
\left. \begin{array}{l}
p \bot n\\
q \bot n
\end{array} \right\} \Rightarrow p//q
\end{array}\)

b) 

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
m \bot n\\
n \bot p
\end{array} \right\} \Rightarrow m//p\\
\left. \begin{array}{l}
m//p\\
p \bot q
\end{array} \right\} \Rightarrow m \bot q
\end{array}\)

c) Hai đường thẳng p và q vuông góc với nhau.

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
m \bot n\\
p//m
\end{array} \right\} \Rightarrow p \bot n\\
\left. \begin{array}{l}
p \bot n\\
q//n
\end{array} \right\} \Rightarrow p \bot q
\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
m \bot n\\
p \bot m
\end{array} \right\} \Rightarrow p//n\\
\left. \begin{array}{l}
p//n\\
q \bot n
\end{array} \right\} \Rightarrow p \bot q
\end{array}\)