Giải bài 6 trang 67 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Sao Diêm Vương chuyển động xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip có một trong hai tiêu điểm là tâm của Mặt Trời. Biết elip này có bán trục lớn \(a \approx 5,{906.10^6}\left( {km} \right)\) và tâm sai \(e \approx 0,249\) (Nguồn: http://vi.wikimedia.org)

Tìm khoảng cách nhỏ nhất (gần đúng) giữa sao Diêm Dương và Mặt Trời

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm \({F_1}\) của elip

Khi đó elip có phương trình là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

Theo đề bài, ta có: elip này có bán trục lớn \(a \approx 5,{906.10^6}\left( {km} \right)\) và tâm sai \(e \approx 0,249\)

Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ là \(M\left( {x;y} \right)\)

Khi đó khoảng cách giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời là: \(M{F_1} = a + ex\)

Vì \(x \ge  - a\) nên \(M{F_1} \ge a - ea \approx 5,{906.10^6} - 0,249.5,{906.10^6} = 4.435.406\left( {km} \right)\)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời xấp xỉ 4.435.406 km.