Bài 5.6 trang 198 SBT đại số và giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số

LG a

\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1; -2) 

Phương pháp giải:

Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\)\( \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = 9\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) là:

\(y = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 2\) \( \Leftrightarrow y = 9\left( {x + 1} \right) - 2\) \( \Leftrightarrow y = 9x + 7\)

LG b

\(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = -2

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2008)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x\) \( \Rightarrow f'\left( { - 2} \right) = 4.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) \) \(=  - 24\)  

\(x =  - 2 \Rightarrow y = f\left( { - 2} \right) = 8\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - 2;8} \right)\) là:

\(y = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 8\) \( =  - 24\left( {x + 2} \right) + 8 =  - 24x - 40\)

Vậy \(y =  - 24x - 40\).

LG c

\(y = {{2x + 1} \over {x - 2}}\) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2009)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Gọi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, khi đó \(f'\left( {{x_0}} \right) = k =  - 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} =  - 5\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 1\\{x_0} - 2 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Tại điểm \(\left( {3;7} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 5\left( {x - 3} \right) + 7\) hay \(y =  - 5x + 22\)

Tại điểm \(\left( {1; - 3} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 5\left( {x - 1} \right) - 3\) hay \(y =  - 5x + 2\)

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là \(y =  - 5x + 2;y =  - 5x + 22.\)