Bài 5.4 trang 198 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số y = |x - 1| không có đạo hàm tại x = 1 nhưng liên tục tại điểm đó.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{ - x + 1}}{{x - 1}} =  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\) \( \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

Do đó không tồn tại \(f'\left( 1 \right)\).

Lại có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x + 1} \right) =  - 1 + 1 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 = f\left( 1 \right)\end{array}\)

Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\)

Vậy ta có đpcm.