Bài 51 trang 131 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Xét hình thoi \(ABCD\) có \( E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \( AB, BC, CD, DA.\)

\(∆ABC\) có \(EB = EA\) và \( FB = FC\) nên \(EF\) là đường trung bình suy ra \(EF // AC\)     (1)

Chứng minh tương tự \(HG // AC\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF//HG\). Chứng minh tương tự \(EH//FG\).

Tứ giác \(EFGH\) có \(EF//HG\) và \(EH//FG\) nên là hình bình hành.

Ta có \(BD\bot EF\) vì \(BD\bot AC\) (tính chất đường chéo hình thoi) và \(EF//AC\).

Ta có \(EF\bot EH\) vì \(EF\bot BD\) (chứng minh trên) và \(EH// BD\).

Hình bình hành \(EFGH\) có \(\widehat E = {90^o}\) nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

Giải thích thêm chỗ các cặp cạnh song song:

Vì \(HD = HA, GD = GC\) (gt)

\( \Rightarrow \) \(HG\) là đường trung bình của \(∆ADC\)

\( \Rightarrow \) \(HG // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \) \(EF // HG\) (cùng // \(AC\))

Ta có: \(EB = EA, AH = HD\) (gt)

\( \Rightarrow \) \(EH\) là đường trung bình của \(∆ABD\)

\( \Rightarrow \) \(EH // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(BF = FC, GD = GC\) (gt)

\( \Rightarrow \) \(FG\) là đường trung bình của \(∆BDC\)

\( \Rightarrow \) \(FG // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \) \(EH // FG\) (cùng // \(BD\))