Bài 4.7 trang 157 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Biết \(\displaystyle \left| {{u_n} - 2} \right| \le {1 \over {{3^n}}}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) ?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \dfrac{1}{{{3^n}}}\) và \(\lim \dfrac{1}{{{3^n}}} = 0\) nên \(\lim ({u_n}-2) = 0\) hay \(\lim {u_n}= 2\).

Cách khác:

Ta có:

\(\lim \dfrac{1}{{{3^n}}} = 0\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{3^n}}}\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mà \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \dfrac{1}{{{3^n}}}\) nên \(\left| {{u_n} - 2} \right|\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

\( \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \lim {u_n} = 2\)