Bài 46 trang 86 Vở bài tập toán 8 tập 1

Cho biểu thức 

\(\left( {\dfrac{{x + 1}}{{2x - 2}} + \dfrac{3}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{x + 3}}{{2x + 2}}} \right)\)\(.\dfrac{{4{x^2} - 4}}{5}\) 

LG a

Hãy tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của biểu thức được xác định.

Phương pháp giải:

- Phân thức đại số của biến \(x\) có dạng \( \dfrac{A(x)}{B(x)}\) được xác định khi \(B(x) \ne 0\). 

Giải chi tiết:

\(\displaystyle 2x - 2 = 2\left( {x - 1} \right) \ne 0\) khi \(\displaystyle x \ne 1\).

\(\displaystyle {x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(\displaystyle x \ne 1\) và \(\displaystyle x \ne  - 1\). 

\(\displaystyle 2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(\displaystyle x \ne  - 1\).

Vậy điều kiện của \(\displaystyle x\) là \(\displaystyle x \ne  - 1;\;x \ne 1\).

LG b

Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Phương pháp giải:

- Để chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x\) ta rút gọn biểu thức sao cho kết quả sau khi rút gọn là một hằng số.

Giải chi tiết:

Để chứng minh biểu thức này không phụ thuộc vào biến \(\displaystyle x\) ta phải biến đổi nó thành một hằng số. Ta có: 

\(\displaystyle  \left( {{{x + 1} \over {2x - 2}} + {3 \over {{x^2} - 1}} - {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right)\)\(\displaystyle .{{4{x^2} - 4} \over 5} \) 
\(\displaystyle = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3.2 - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle .{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5} \) 
\(\displaystyle = {{{x^2} + 2x + 1 + 6 - \left( {{x^2} - x + 3x - 3} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle .{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5} \) 
\(\displaystyle   = {{10} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle .{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5} = 4  \)

Giải thích thêm:

\(\displaystyle  \left( {{{x + 1} \over {2x - 2}} + {3 \over {{x^2} - 1}} - {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right)\)\(\displaystyle .{{4{x^2} - 4} \over 5} \)
\(\displaystyle = \left[ {{{x + 1} \over {2\left( {x - 1} \right)}} + {3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{x + 3} \over {2\left( {x + 1} \right)}}} \right]\)\(\displaystyle .{{4({x^2} - 1)} \over 5} \)