Bài 42 trang 94 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác vuông \(ABC\) (\(\widehat A = 90^\circ \)). Dựng \(AD\) vuông góc với \(BC\) (\(D\) thuộc \(BC\)). Đường phân giác \(BE\) cắt \(AD\) tại \(F\) (h.29).

Chứng minh: \(\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\). 

Lời giải chi tiết

\(\Delta ABC\) có \(BE\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên ta có:

\(\displaystyle {{EA} \over {EC}} = {{AB} \over {BC}}\)  (tính chất đường phân giác của tam giác)       (1)

\(\Delta ADB\) có \(BF\) là tia phân giác của góc \(ABD\) nên ta có:

\(\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{BD} \over {BA}}\)  (tính chất đường phân giác của tam giác)        (2)

Xét \(∆ ABC\) và \(∆ DBA\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDA} = 90^\circ \)

\(\widehat B\) chung

\( \Rightarrow ∆ ABC \backsim  ∆ DBA\) (g.g)

\( \Rightarrow\displaystyle {{BD} \over {BA}} = {{AB} \over {CB}}\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\).