Bài 40 trang 93 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \) và đường cao \(AH.\) Từ điểm \(H\) hạ đường \(HK\) vuông góc với \(AC\) (h.27).

a) Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu tam giác đồng dạng với nhau?

b) Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo thứ tự các đỉnh tương ứng và viết tỉ lệ thức giữa các cặp cạnh tương ứng của chúng.

Lời giải chi tiết

a)

\(∆ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = {90^o}\)     (1)

\(∆ HBA\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat B + \widehat {{A_1}} = {90^o}\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat C = \widehat {{A_1}}\)    (3)

\(∆ HAC\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat C + \widehat {{A_2}} = {90^o}\)     (4)

Từ (1) và (4) suy ra \(\widehat {{A_2}} = \widehat B\)    (5)

\(∆ KAH\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{H_2}} = {90^o}\)    (6)

Từ (1), (5) và (6) suy ra \(\widehat {{H_2}} = \widehat C\)

\(∆ KHC\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {{H_1}} + \widehat C = {90^o}\)      (7)

Từ (1) và (7) suy ra \(\widehat {{H_1}} = \widehat B\)

Do đó hình có \(5\) tam giác đồng dạng với nhau theo từng đôi một, đó là: \(∆ABC; ∆ HBA; ∆ HAC; ∆ KAH;\)\(\, ∆ KHC.\)

b)

- Xét \( ∆ ABC\) và \(∆ HBA\) có:

+) \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = {90^o}\)

+) \(\widehat B\) chung

\( \Rightarrow  ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ HBA\) (g.g)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AB} \over {HB}} = {{AC} \over {HA}} = {{BC} \over {BA}}\)

- Xét \(∆ ABC\) và \(∆ HAC\) có:

+) \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = {90^o}\)

+) \(\widehat C\) chung

\( \Rightarrow ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ HAC \) (g.g)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AB} \over {HA}} = {{AC} \over {HC}} = {{BC} \over {AC}}\)

- Xét \(∆ ABC\) và \(∆ KHC\) có:

+) \(\widehat {BAC} = \widehat {HKC} = {90^o}\)

+) \(\widehat C\) chung

\( \Rightarrow  ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ KHC\) (g.g)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AB} \over {KH}} = {{AC} \over {KC}} = {{BC} \over {HC}}\)

- Xét \(∆ ABC\) và \(∆ KAH\) có:

+) \(\widehat {BAC} = \widehat {AKH} = {90^o}\)

+) \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ KAH\) (g.g)

\(\displaystyle \Rightarrow{{AB} \over {KA}} = {{AC} \over {KH}} = {{BC} \over {AH}}\)

Do đó \(∆ABC; ∆ HBA; ∆ HAC; ∆ KAH;\)\(\, ∆ KHC\) đồng dạng với nhau từng đôi một.

+) \(∆ HBA\) đồng dạng \(∆ HAC\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{HB} \over {HA}} = {{HA} \over {HC}} = {{BA} \over {AC}}\)

+) \(∆ HBA\) đồng dạng \(∆ KHC\) 

\(\displaystyle \Rightarrow {{HB} \over {KH}} = {{HA} \over {KC}} = {{BA} \over {HC}}\)

+) \( ∆ HBA\) đồng dạng \(∆ KAH\)

\(\displaystyle \Rightarrow{{HB} \over {KA}} = {{HA} \over {KH}} = {{BA} \over {AH}}\)

+) \( ∆ HAC\) đồng dạng \(∆ KHC\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{HA} \over {KH}} = {{HC} \over {KC}} = {{AC} \over {HC}}\)

+) \(∆ HAC\) đồng dạng \(∆ KAH\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{HA} \over {KA}} = {{HC} \over {KH}} = {{AC} \over {AH}}\)

+) \(∆ KHC\) đồng dạng \(∆ KAH\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{KH} \over {KA}} = {{KC} \over {KH}} = {{HC} \over {AH}}\)