Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 85 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho đường thẳng \(d\) và hai điểm \(A, B\) có khoảng cách đến đường thẳng \(d\) theo thứ tự là \(20cm\) và \(6cm.\) Gọi \(C\) là trung điểm của \(AB.\) Tính khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(d.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trường hợp \(A\) và \(B\) nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng \(d.\)

Gọi \(A’, B’\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(B\) đến \(d\)

\(AA’ ⊥ d;\) \(BB’ ⊥ d \)\(⇒ AA’ // BB’\)

Tứ giác \(ABB’A’\) là hình thang. Kẻ \(CH ⊥ d\)

\(⇒ CH // AA’ // BB’\) nên \(CG\) là đường trung bình của hình thang \(ABB’A’\)

\( \Rightarrow CH = \displaystyle {{AA' + BB'} \over 2}\)\( = \displaystyle {{20 + 6} \over 2} = 13\,\,\left( {cm} \right)\)

\(b)\) Trường hợp \(A\) và \(B\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng \(d\)

Kẻ \(CH ⊥ d\) cắt \(A’B\) tại \(K\)

\(⇒ CH // AA’ // BB’\)

Trong \(∆ AA’B\) ta có: \(AC = CB\)

Mà \(CK // AA’\) nên \(A’K = KB\) và \(CK\) là đường trung bình của tam giác \(AA’B\)

\( \Rightarrow CK =\displaystyle  {{AA'} \over 2}\)  (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(CK = \displaystyle {{20} \over 2} = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

Trong \(∆ A’BB’\) có \(A’K = KB\) và \(KH // BB’\)

Nên \(KH\) là đường trung bình của \(∆ A’BB’\)

\( \Rightarrow KH =\displaystyle  {{BB'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow KH = \displaystyle {6 \over 2} = 3\,\,\left( {cm} \right)\)

\(CH = CK – KH = 10 – 3 = 7\;\;(cm)\)