Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 104 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A, AH\) và \(AM\) tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ \(A\) của tam giác đó. Qua điểm \(A\) kẻ đường thẳng \(mn\) vuông góc với \(AM.\) Chứng minh: \(AB\) và \(AC\) tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bởi \(AH\) và hai tia \(Am, An\) của đường thẳng \(mn.\)

Lời giải chi tiết

Vì \(∆ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\)

\( \Rightarrow AM = MB = MC = \displaystyle{1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)

Nên đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MA\) đi qua \(A,B,C\)

Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) với đường tròn \((M,MA).\)

Khi đó: \(BC \bot AD\) tại H nên H là trung điểm của AD (quan hệ giữa đường kính và dây của đường tròn) 

\( \Rightarrow BC\) là trung trực của \(AD\)

\( \Rightarrow AC=CD\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

\( \Rightarrow ∆ACD\) cân tại \(C\)

\( \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{DAC}\) \((1)\)

Ta lại có: \(\widehat{ADC}=\widehat{nAC}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((2)\)

Từ \((1),(2)\) suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{nAC}\) hay \(\widehat{HAC}=\widehat{nAC}\)

Vậy \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {HAn}\)

Ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{mAB}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((3)\)

\( \widehat {BAH} + \widehat {ACB} = {90^o}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {HAC}\))     \( (4)\)

Từ \((3),(4)\) suy ra \(\widehat {mAB} = \widehat {BAH}\).

Vậy \(AB\) là tia phân giác của \(\widehat {mAH}\).