Bài 38 trang 98 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Chân đường cao \(AH\) của tam giác vuông \(ABC\) chia cạnh huyền \(BC\) thành hai đoạn có độ dài \(25cm\) và \(36cm\). Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó (h.45)

Lời giải chi tiết

Xét hai tam giác vuông \(HAB\) và \(HCA\)

\(\begin{array}{l}\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^0}\\\widehat {CAH} + \widehat {BAH} = {90^0}\end{array}\)

Suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\)

Do đó \(\Delta HAB \backsim \Delta HCA\) và ta có:

\(\dfrac{{HA}}{{HC}} = \dfrac{{HB}}{{HA}}\) \( \Rightarrow A{H^2} = HB.HC = 25.36\) \( \Rightarrow AH = \sqrt {25.36}  = 30\)

Xét hai tam giác vuông \(HBA\) và \(ABC\) có chung góc \(\widehat B\)

Vậy \(\Delta HBA \backsim \Delta ABC\).

Do đó \(\dfrac{{HB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) \( \Rightarrow A{B^2} = HB.BC = 25\left( {25 + 36} \right)\)

\(AB = \sqrt {25\left( {25 + 36} \right)}  \approx 39,05\left( {cm} \right)\)

Tương tự xét hai tam giác vuông \(HAC\) và \(ABC\) có góc \(A\) chung.

Vậy: \(\Delta HAC \backsim \Delta ABC\)

Do đó \(\dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{HC}}{{AC}}\) \( \Rightarrow A{C^2} = HC.BC = 36\left( {25 + 36} \right)\)

\(AC = \sqrt {36\left( {25 + 36} \right)}  \approx 46,86\left( {cm} \right)\)

Chu vi tam giác \(ABC\) là:

\(AB + AC + BC\) \( \approx 39,05 + 46,86 + \left( {25 + 36} \right)\) \( = 146,91\left( {cm} \right)\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) \( = \dfrac{1}{2}.30.\left( {25 + 36} \right) = 915\left( {c{m^2}} \right)\).