Bài 3.67 trang 135 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) (*)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2a + d = 0}\\{1 - 2b + d = 0}\\{1 - 2c + d = 0}\\{2 - 2a - 2b + d = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = \dfrac{1}{2}}\\{c = \dfrac{1}{2}}\\{d = 0}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x² + y² + z² – x – y – z = 0

b) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1;0;1)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (0;1;0)\)

Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = ( - 1;0; - 1)\) hay \(\overrightarrow {n'}  = (1;0;1)\)

Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0  hay x + z – 1 = 0

Mặt cầu (S) có tâm  \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

Ta có \(I \in (ACD)\), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy:

\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\( = \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).