Bài 3.54 trang 133 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y =  - 2t}\\{z = 7 + t}\end{array}} \right.\)  và  d₁:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 + t'}\\{y =  - 2}\\{z =  - 11 - t'}\end{array}} \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Hình 3.32

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; - 2;1)\).

Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; - 1)\).

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t')\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow a }\\{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow b }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a  = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow b  = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t') = 0}\\{ - 8 + t' - ( - 18 - t - t') = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5t - t' - 14 = 0}\\{t + 2t' + 10 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 2}\\{t' =  - 4}\end{array}} \right.\)

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 12; - 6; - 12)\). Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Chú ý:

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁ là là  \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {2;1;2} \right)\)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right]\)\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( { - 5;2;4} \right)\)

Phương trình của (Q) là : \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)

Để tìm  \({d_1} \cap (Q)\)  ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

\(–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\) \( \Rightarrow t' = 4\)

\( \Rightarrow {d_1} \cap \left( Q \right) = B\left( { - 6; - 2; - 7} \right)\)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa \({d_1}\) và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}}  = ( - 1;4; - 1)\)

Phương trình của (R) là \( –x  + 4y – z – 5 = 0\).

Suy ra  \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)