Bài 3.30 trang 115 SBT hình học 12

Giải bài 3.30 trang 115 sách bài tập hình học 12. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.


Đề bài

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Lập phương trình mặt chắn đi qua các điểm \(A,B,C\).

- Viết công thức tính thể tích tứ diện và đánh giá GTNN.

Lời giải chi tiết

Gọi giao điểm của \((\alpha )\) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)

(a, b, c > 0).

Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\left( \alpha  \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) (1)

Do \((\alpha )\)  đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là  \(V = \dfrac{1}{3}B.h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OA.OB.OC\) \( = \dfrac{1}{6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  \(1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \) \( \Rightarrow  1 \ge \dfrac{{27.6}}{{abc}}\)

\( \Rightarrow    abc \ge 27.6 \Rightarrow    V \ge 27\)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất  \(  \Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow   \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c} = \dfrac{1}{3} \) \(\Leftrightarrow   \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là:

\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1\) hay \(6x + 3y + 2z – 18 = 0\).

Bài giải tiếp theo



Từ khóa phổ biến