Bài 33 trang 105 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(BC\) cố định và \(\widehat A = \alpha \) không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Chứng minh thuận:

Gọi \(I\) là giao điểm \(3\) đường phân giác trong của \(∆ABC\)

\(\widehat {IBC} =\displaystyle {{\widehat B} \over 2};\) \(\widehat {ICB} = \displaystyle {{\widehat C} \over 2}\)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = \displaystyle {{\widehat B + \widehat C} \over 2}\) mà trong \(∆ABC\) ta có: \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ  - \widehat A = 180^\circ  - \alpha \)

Suy ra: \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} =\displaystyle  {{180^\circ  - \alpha } \over 2}\)

Trong \(∆BIC\) ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ  - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\)

Suy ra: \(\widehat {BIC} = \displaystyle  180^\circ  - {{180^\circ  - \alpha } \over 2}\)\( = \displaystyle {{360^\circ  - 180^\circ  + \alpha } \over 2}\)\( =\displaystyle  90^\circ  + {\alpha  \over 2}\)

Do \(\widehat Α=\alpha\) không đổi \( \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ  + \displaystyle {\alpha  \over 2}\) không đổi.

Vì \(I\) thay đổi tạo với \(2\) đầu đoạn \(BC\) cố định một góc bằng \(90^\circ + \displaystyle {\alpha  \over 2}\) không đổi

Do đó, \(I\) nằm trên cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha  \over 2}\) vẽ trên \(BC.\)

Chứng minh đảo:  Trên cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha  \over 2}\) lấy điểm \(I’ \) bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ \(BC\) chứa điểm \(I’\) hai tai \(Bx\) và \(Cy\) sao cho \(BI’\) là phân giác của \(\widehat {CBx},CI'\) là phân giác của \(\widehat {BCy}\).

\(Bx\) cắt \(Cy\) tại \(A'.\)

Trong \(∆BI'C\) ta có: \(\widehat {BI'C} = 90^\circ + \displaystyle {\alpha  \over 2}\)

\( \Rightarrow \widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} = 180^\circ  - \widehat {BI'C}\)\( =\displaystyle 180^\circ  - \left( {90^\circ  + {\alpha  \over 2}} \right)\)\( = \displaystyle {{180^\circ  - \alpha } \over 2}\)

\(\widehat {CBA'} = 2\widehat {I'BC};\widehat {BCA'} = 2\widehat {I'CB}\)

\( \Rightarrow \widehat {CBA'} + \widehat {BCA'} =\displaystyle  2.{{180^\circ  - \alpha } \over 2} \)\(= 180^\circ  - \alpha \)

Trong \(∆A'BC\) ta có:

\(\widehat {BA'C} = 180^\circ  - (\widehat {CBA'} + \widehat {BCA'}) \)\(= 180^\circ  - (180^\circ  - \alpha ) = \alpha \)

Kết luận: Vậy quỹ tích giao điểm \(3\) đường phân giác trong \(∆ABC\) khi \(\widehat A = \alpha \) không đổi, \(BC\) cố định là \(2\) cung chứa góc \(90^\circ  + \displaystyle {\alpha  \over 2}\) vẽ trên \(BC.\)