Bài 3.22 trang 124 SBT đại số và giải tích 11

Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết

LG a

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất \({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27{\rm{      }}\left( 1 \right)\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275{\rm{   }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
\Leftrightarrow \left( {{u_1} + {u_3}} \right) + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 2{u_2} + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 3{u_2} = 27\\
\Leftrightarrow {u_2} = 9
\end{array}\)

Thay \({u_2} = 9\) vào (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 18\,\,(3)\\u_1^2 + u_3^2 = 194\,\,(4)\end{array} \right.\)

\(\left( 3 \right) \Rightarrow {u_3} = 18 - {u_1}\) thay vào (4) ta được:

\(\begin{array}{l}u_1^2 + {\left( {18 - {u_1}} \right)^2} = 194\\ \Leftrightarrow u_1^2 + 324 - 36{u_1} + u_1^2 = 194\\ \Leftrightarrow 2u_1^2 - 36{u_2} + 130 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_1} = 13\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({u_1} = 5 \Rightarrow {u_3} = 13\) ta có CSC \(5;9;13\)

Với \({u_1} = 13 \Rightarrow {u_3} = 5\) ta có CSC \(13;9;5\).

Vậy ta có hai cấp số cộng \(5,9,13\) và \(13,9,5.\)

LG b

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\end{array} \right.\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Mặt khác, \(a = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\) \( \Rightarrow 2a = 2n{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) \( \Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{{2a - \left( {n - 1} \right)d}}{{2n}}\).

Thay \({u_1}\) vào (1) ta được:

Kết quả \(d =  \pm \sqrt {\dfrac{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)}}{{{n^2}\left( {{n^2} - 1} \right)}}} \);\({u_1} = \dfrac{1}{n}\left[ {a - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d} \right]\)