Bài 32 trang 105 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn \((O; R)\) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau \(AB, BC, CD,\) mỗi dây có độ dài nhỏ hơn \(R.\) Các đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(I,\) các tiếp tuyến của đường tròn tại \(B, D\) cắt nhau tại \(K.\)

\(a)\) Chứng minh \(\widehat {BIC} = \widehat {BKD}\)

\(b)\) Chứng minh \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {KBD}.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) \(\overparen{AB} = \overparen{BC} = \overparen{CD}\)  \((gt)\) \(                  (1)\)

Trong đường tròn \((O)\) ta có \(\widehat {BKD}\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

\( \Rightarrow \widehat {BKD} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{BAD} \)\(- sđ \overparen{BCD}\))

\(=\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AB} + sđ \overparen{AmD} - sđ \overparen{BC}\)\( - sđ \overparen{CD}\)) \(         (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) \( \Rightarrow \widehat {BKD} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AmD} \)\(- sđ \overparen{BC}\))\(       (3)\)

Trong đường tròn \((O)\) ta có \(\widehat {BIC}\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.  

\( \Rightarrow \widehat {BIC} =\displaystyle  {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{AmD}\) - sđ \(\overparen{BC}\)) \( (4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {BIC} = \widehat {BKD}\)

\(b)\) Xét đường tròn \((O)\) ta có:

+) \(\widehat {KBC} = \displaystyle {1 \over 2}\)sđ \(\overparen{BC}\) (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)   \( (5)\)

+) \(\widehat {CBD} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{CD}\) (tính chất góc nội tiếp)        \( (6)\)

Từ \((1),\) \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(\widehat {KBC} = \widehat {CBD}\). Vậy \(BC \) là tia phân giác của \(\widehat {KBD}.\)