Bài 31 trang 92 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD (AB//CD)\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

a) Chứng minh rằng \(OA.OD = OB.OC\).

b) Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(AB\) và \(CD\) theo thứ tự tại \(H\) và \(K\).

Chứng minh rằng \(\dfrac{OH}{OK} = \dfrac{AB}{CD}\)

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác \(OAB\) và \(OCD\):

\(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {ABO} = \widehat {ODC}\) (hai góc so le trong vì \(AB//CD\)).

Suy ra \(\Delta OAB \backsim \Delta OCD\) (trường hợp g.g)

Do đó \(\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) \( \Rightarrow OA.OD = OB.OC\) (đpcm).

b) Xét hai tam giác vuông \(OHB\) và \(OKD\):

\(\widehat {OHB} = \widehat {OKD}\) (cùng bằng \({90^0}\))

\(\widehat {OBH} = \widehat {ODK}\) (hai góc so le trong).

Suy ra \(\Delta OHB \backsim \Delta OKD\)

Do đó \(\dfrac{{OH}}{{OK}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) (1)

Theo kết quả trên: \(\dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{{OH}}{{OK}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) (đpcm).