Bài 31 trang 160 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Các điểm \(E, F, G, H, K, L, M, N\) chia mỗi cạnh hình vuông \(ABCD\) thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Gọi \(P, Q, R, S\) là giao điểm của \(EH\) và \(NK\) với \(FM\) và \(GL\) (h.187). Tính diện tích của ngũ giác \(AEPSN\) và của tứ giác \(PQRS,\) biết \(AB = 6cm.\)

Lời giải chi tiết

Diện tích hình vuông \(ABCD\) bằng \( 6.6=36\) (\(c{m^2}\))

Diện tích tam giác \(DKN\) bằng:

\(\dfrac{1}{2}.4.4 = 8\) (\(c{m^2}\))

Diện tích tam giác \(EBH\) bằng: \(\dfrac{1}{2}.4.4 = 8\) (\(c{m^2}\))

Diện tích phần còn lại là : \(36 – ( 8 + 8) = 20\) (\(c{m^2}\))

Trong tam giác vuông \(AEN\), theo định lý Pytago ta có:

\(E{N^2} = A{N^2} + A{E^2}\) \(= 4 + 4 = 8\) 

\(EN =\) \(2\sqrt 2 \) \((cm)\)

Trong tam giác vuông \(BHE\),  theo định lý Pytago ta có:

\(E{H^2} = B{E^2} + B{H^2}\) \(= 16 + 16 = 32\)

\(EH =\) \(4\sqrt 2 \) \((cm)\)

Diện tích hình chữ nhật \(ENKH\) bằng  \(2\sqrt 2\, .\)  \(4\sqrt 2 \) \(=16\) (\(c{m^2}\))

Nối đường chéo \(BD.\) Théo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có hình chữ nhật \(ENKH\) được chia thành \(4\) phần bằng nhau nên diện tích tứ giác \(PQRS\) chiếm \(2\) phần và bằng 8 \(c{m^2}\)

Diện tích \(ΔAEN\) bằng \(\dfrac{1}{2}.2.2 = 2\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \({S_{AEPSN}} = {S_{AEN}} + {S_{EPSN}}\)

\(= 2 + \dfrac{16}{4} = 6\) (\(c{m^2}\))